Каким образом можно представить обыкновенную дробь в виде бесконечной периодической десятичной дроби? Каков период этой

Margarita

5

Обыкновенная дробь может быть представлена в виде бесконечной периодической десятичной дроби с помощью процесса деления числителя на знаменатель. Чтобы найти период этой дроби, мы должны применить метод деления с остатком до тех пор, пока не получим повторяющуюся последовательность цифр.

Давайте рассмотрим пример. Предположим, что у нас есть обыкновенная дробь \(\frac{1}{3}\). Мы можем найти ее представление в виде бесконечной периодической десятичной дроби, разделив числитель на знаменатель:

\[
\begin{align*}
3 \,|\, 1 & \\
-3 \,|\, 10 & \\
\hline
\phantom{-}10 & \\
\end{align*}
\]

Мы записали числитель 1 над знаменателем 3 и разделили их. Затем мы умножили 3 на 3 и вычли его из 10 (получили 1) и дописали следующую цифру после запятой. Затем дописали 0 и получили 10, которое снова разделили на 3. Процесс повторяется:

\[
\begin{align*}
3 \,|\, 1 & \\
-3 \,|\, 10 & \\
\phantom{-}10 \,|\, 1 & \\
-3 \,|\, 10 & \\
\phantom{-}10 \,|\, 1 & \\
-3 \,|\, 10 & \\
\end{align*}
\]

Заметим, что после первой итерации получается 1, а затем повторяется бесконечное количество раз 0,1. Таким образом, период десятичной дроби \(\frac{1}{3}\) равен 1. Полное представление этой дроби в виде бесконечной периодической десятичной дроби будет \(0.\overline{3}\).

Точно таким же образом можно представить любую другую обыкновенную дробь в виде бесконечной периодической десятичной дроби, применяя деление с остатком и находя повторяющуюся последовательность цифр.