Каким образом можно решить следующие задачи? 1. Найти координаты векторов 2а-b, если а = (-4;1;5) и b = (3;-5;-1

Добрый_Дракон

23

Хорошо! Давайте посмотрим на каждую задачу по очереди и найдем их решения.

1. Для нахождения вектора \(2\mathbf{a} - \mathbf{b}\), мы должны умножить вектор \(\mathbf{a}\) на 2 и вычесть из него вектор \(\mathbf{b}\).

Исходные векторы: \(\mathbf{a} = (-4; 1; 5)\) и \(\mathbf{b} = (3; -5; -1)\)

Умножим вектор \(\mathbf{a}\) на 2: \(2\mathbf{a} = 2(-4; 1; 5) = (-8; 2; 10)\)

Теперь вычтем вектор \(\mathbf{b}\) из полученного результата: \(2\mathbf{a} - \mathbf{b} = (-8; 2; 10) - (3; -5; -1) = (-8-3; 2-(-5); 10-(-1)) = (-11; 7; 11)\)

Таким образом, координаты вектора \(2\mathbf{a} - \mathbf{b}\) равны \((-11; 7; 11)\).

2. Чтобы определить, при каких значениях \(s\) и \(t\) векторы \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) являются коллинеарными, мы должны установить, что координаты одного вектора пропорциональны координатам другого вектора.

Исходные векторы: \(\mathbf{a} = (3; s; 4)\) и \(\mathbf{b} = (t; 1; -8)\)

Таким образом, для коллинеарности векторов, нужно, чтобы выполнялось следующее условие:

\[
\frac{3}{t} = \frac{s}{1} = \frac{4}{-8}
\]

Отсюда мы получаем два уравнения:

\[
\frac{3}{t} = \frac{4}{-8} \quad \text{и} \quad \frac{s}{1} = \frac{4}{-8}
\]

Первое уравнение можно решить, перекрестно умножая:

\[
3 \cdot -8 = 4 \cdot t \implies -24 = 4t \implies t = -6
\]

Второе уравнение:

\[
s = \frac{4}{-8} = -\frac{1}{2}
\]

Таким образом, для того чтобы векторы \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) были коллинеарными, значения \(s\) должно быть равно \(-\frac{1}{2}\), а значение \(t\) должно быть равно \(-6\).

3. Чтобы найти координаты точки \(K\), которая является серединой отрезка \(AB\), мы можем применить формулу для нахождения средней точки отрезка:

\[
\mathbf{K} = \frac{\mathbf{A} + \mathbf{B}}{2}
\]

Исходные точки: \(\mathbf{A} = (0; 3; 4)\) и \(\mathbf{B} = (1; 4; 4)\)

Выполним вычисления:

\[
\mathbf{K} = \frac{(0; 3; 4) + (1; 4; 4)}{2} = \frac{(0+1; 3+4; 4+4)}{2} = \frac{(1; 7; 8)}{2} = \left(\frac{1}{2}, \frac{7}{2}, 4\right)
\]

Таким образом, координаты точки \(K\) равны \(\left(\frac{1}{2}, \frac{7}{2}, 4\right)\).

4. Чтобы вычислить скалярное произведение векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\), мы должны умножить соответствующие координаты векторов и сложить полученные произведения.

Исходные векторы: \(\mathbf{a} = (-1; 3; 2)\) и \(\mathbf{b} = (4; 5; 0)\)

Выполним необходимые вычисления:

\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (-1 \cdot 4) + (3 \cdot 5) + (2 \cdot 0) = -4 + 15 + 0 = 11
\]

Таким образом, скалярное произведение векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) равно 11.

5. Чтобы вычислить угол \(\angle MNK\) между векторами \(\mathbf{MN}\) и \(\mathbf{KP}\), мы можем использовать формулу для вычисления угла между векторами:

\[
\cos \angle MNK = \frac{\mathbf{MN} \cdot \mathbf{KP}}{|\mathbf{MN}| \cdot |\mathbf{KP}|}
\]

Исходные точки: \(\mathbf{M} = (3; -2; 4)\), \(\mathbf{N} = (4; -1; 2)\), \(\mathbf{K} = (6; -3; 2)\) и \(\mathbf{P} = (7; -3; 1)\)

Выполним необходимые вычисления:

\(\mathbf{MN} = \mathbf{N} - \mathbf{M} = (4; -1; 2) - (3; -2; 4) = (4-3; -1-(-2); 2-4) = (1; 1; -2)\)

\(\mathbf{KP} = \mathbf{P} - \mathbf{K} = (7; -3; 1) - (6; -3; 2) = (7-6; -3-(-3); 1-2) = (1; 0; -1)\)

Теперь найдем модули векторов:

\( |\mathbf{MN}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{6} \)

\( |\mathbf{KP}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} \)

Теперь вычислим скалярное произведение:

\(\mathbf{MN} \cdot \mathbf{KP} = (1 \cdot 1) + (1 \cdot 0) + (-2 \cdot -1) = 1 + 0 + 2 = 3\)

Теперь можно вычислить косинус угла \(\angle MNK\):

\(\cos \angle MNK = \frac{\mathbf{MN} \cdot \mathbf{KP}}{|\mathbf{MN}| \cdot |\mathbf{KP}|} = \frac{3}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{12}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Если мы применим обратный косинус к обоим сторонам, мы получим значение угла:

\(\angle MNK = \arccos \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\)

Для этой задачи, радианную меру угла можно оставить как ответ, и аргумент лучше не упрощать.

Таким образом, угол между векторами \(\mathbf{MN}\) и \(\mathbf{KP}\) равен \(\arccos \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\).