Каким является разложение степени бинома (a−1)^4? (выберите один вариант ответа): 1) a4−4a3+7a2−4a+1 2) a4−4a3+6a2−5a+1

Магическая_Бабочка

30

Разложение степени бинома \((a-1)^4\) может быть найдено с помощью формулы для разложения бинома на биномиальные коэффициенты. Формула для разложения степени \(n\) бинома \((a+b)^n\) выглядит следующим образом:

\[(a+b)^n = C_n^0 \cdot a^n \cdot b^0 + C_n^1 \cdot a^{n-1} \cdot b^1 + C_n^2 \cdot a^{n-2} \cdot b^2 + \ldots + C_n^n \cdot a^0 \cdot b^n,\]

где \(C_n^k\) - биномиальный коэффициент, равный \(\frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}\), где \(n!\) - факториал числа \(n\).

В данном случае у нас \(n=4\) и \(b=-1\), поэтому степень бинома будет разлагаться следующим образом:

\[(a-1)^4 = C_4^0 \cdot a^4 \cdot (-1)^0 + C_4^1 \cdot a^3 \cdot (-1)^1 + C_4^2 \cdot a^2 \cdot (-1)^2 + C_4^3 \cdot a^1 \cdot (-1)^3 + C_4^4 \cdot a^0 \cdot (-1)^4.\]

Вычислим биномиальные коэффициенты и упростим полученное выражение:

\((a-1)^4 = 1 \cdot a^4 \cdot 1 + 4 \cdot a^3 \cdot (-1) + 6 \cdot a^2 \cdot 1 + 4 \cdot a \cdot (-1) + 1 \cdot 1 \cdot 1.\)

После сокращений получим следующий результат:

\((a-1)^4 = a^4 - 4a^3 + 6a^2 - 4a + 1.\)

Таким образом, правильный ответ на задачу - вариант номер 3) \(a^4 - 4a^3 + 6a^2 - 4a + 1\).