Како́ва дли́на кате́та, противоле́жащего уго́лу вели́чиной 30°, если площа́дь прямоуго́льного треу́гольника соста́вляет

Zvezda

6

Чтобы найти длину катета, противолежащего углу величиной 30° в прямоугольном треугольнике, нам понадобится использовать формулу для площади треугольника и соотношения между сторонами этого треугольника.

Дано:
Площадь прямоугольного треугольника = 338√3

Пусть катеты этого треугольника имеют длины a и b, а гипотенуза имеет длину c.

Формула для площади треугольника:
Площадь треугольника = (1/2) * a * b

Распишем эту формулу для нашего треугольника:
338√3 = (1/2) * a * b

Для дальнейших рассуждений, вспомним соотношения между сторонами прямоугольного треугольника.
В прямоугольном треугольнике со сторонами a, b, и гипотенузой c, справедливы следующие соотношения:

c^2 = a^2 + b^2 (теорема Пифагора)
tg(угла) = a / b (отношение катетов и угла)

Так как угол противолежащий катету a равен 30°, и tg(30°) = 1/√3, то мы можем использовать эти соотношения для решения задачи.

Применим отношение катетов и углов:
tg(30°) = a / b
1/√3 = a / b (1)

Теперь воспользуемся формулой Площади треугольника и выразим одну переменную через другую.

Объединим формулу для площади треугольника и формулу (1):
338√3 = (1/2) * a * b
338√3 = (1/2) * b * (√3 * b) (заменяем a/b по формуле (1))
338√3 = (1/2) * b^2 * √3
338√3 = (√3/2) * b^2

Теперь упростим это уравнение:
338 = (√3/2) * b^2

Разделим обе части уравнения на (√3/2):
338 / (√3/2) = b^2
338 * (2/√3) = b^2
676/√3 = b^2

Извлекая квадратный корень из обеих сторон уравнения, получим:
√(676/√3) = b
√(676) / √√3 = b
26 / √√3 = b
26 / (√3)^(1/2) = b
26 / (√3)^0.5 = b
26 / (√3)^0.5 = b

Таким образом, длина катета, противолежащего углу величиной 30°, составляет 26 / (√3)^0.5