Какое будет изменение высоты поднятия поршня и какая работа будет выполнена при изотермическом нагревании воздуха

Vaska

51

Для решения этой задачи воспользуемся законом Бойля-Мариотта для идеального газа, а также уравнением неразрывности.

Первым шагом определим объём начального состояния воздуха в цилиндре. Для этого воспользуемся уравнением неразрывности:

\[ V_1 = S \cdot h_1, \]

где \( V_1 \) - объём начального состояния воздуха, \( S \) - площадь основания цилиндра, \( h_1 \) - начальная высота поднятия поршня.

Подставляя значения в данное уравнение, получим:

\[ V_1 = 0.06 \, \text{м}^2 \cdot h_1. \]

Далее, используя закон Бойля-Мариотта для идеального газа, найдём изменение объёма исходя из изменения давления и температуры:

\[ \frac{{P_1 \cdot V_1}}{{T_1}} = \frac{{P_2 \cdot V_2}}{{T_2}}, \]

где \( P_1 \) и \( P_2 \) - начальное и конечное давление соответственно, \( V_2 \) - объём конечного состояния воздуха, \( T_1 \) и \( T_2 \) - начальная и конечная температуры соответственно.

Из условия известны \( P_1 = 5 \) атм, \( P_2 = 5 \) атм (так как изменяется воздух находится в изотермическом процессе), \( T_1 = 10 \) градусов и \( T_2 = 35 \) градусов.

Подставим известные значения в уравнение:

\[ \frac{{5 \, \text{атм} \cdot V_1}}{{10 \, \text{град}}^\circ} = \frac{{5 \, \text{атм} \cdot V_2}}{{35 \, \text{град}}^\circ}. \]

Так как конечное и начальное давление равны, а температуры заданы в градусах Цельсия, то дроби сократятся и уравнение можно переписать так:

\[ \frac{{V_1}}{{10}} = \frac{{V_2}}{{35}}. \]

Теперь, решим уравнение относительно \(V_2\):

\[ 35 \cdot V_1 = 10 \cdot V_2 \Rightarrow V_2 = \frac{{35}}{{10}} \cdot V_1. \]

Окончательно, найдём изменение высоты поднятия поршня, зная, что объём пропорционален площади основания и высоте поднятия:

\[ V_2 = 0.06 \, \text{м}^2 \cdot h_2, \]

где \( h_2 \) - изменение высоты поднятия поршня.

Подставим значение \( V_2 \) в данное уравнение:

\[ \frac{{35}}{{10}} \cdot V_1 = 0.06 \, \text{м}^2 \cdot h_2. \]

Так как \( V_1 = 0.06 \, \text{м}^2 \cdot h_1 \), можем выразить \( h_2 \) через \( h_1 \):

\[ h_2 = \frac{{35}}{{10}} \cdot h_1. \]

Таким образом, изменение высоты поднятия поршня равно \( \frac{{35}}{{10}} \) раз начальной высоты поднятия поршня.

Для определения работы, выполненной при изотермическом нагревании, воспользуемся уравнением работы газа:

\[ A = P \cdot \Delta V, \]

где \( A \) - работа, \( P \) - давление газа, \( \Delta V \) - изменение объёма.

Подставляя значения в данное уравнение, получим:

\[ A = 5 \, \text{атм} \cdot \frac{{35}}{{10}} \cdot V_1 - 5 \, \text{атм} \cdot V_1 = 2 \, \text{атм} \cdot V_1. \]

Таким образом, работа, выполненная при изотермическом нагревании воздуха, равна \( 2 \, \text{атм} \cdot V_1 \).