Какое будет изменение высоты поднятия поршня и какая работа будет выполнена при изотермическом нагревании воздуха

Vaska

51

Для решения этой задачи воспользуемся законом Бойля-Мариотта для идеального газа, а также уравнением неразрывности.

Первым шагом определим объём начального состояния воздуха в цилиндре. Для этого воспользуемся уравнением неразрывности:

$$V_1=S\cdot h_1,$$

где $V_1$ - объём начального состояния воздуха, $S$ - площадь основания цилиндра, $h_1$ - начальная высота поднятия поршня.

Подставляя значения в данное уравнение, получим:

$$V_1=0.06{\text{м}}^2\cdot h_1.$$

Далее, используя закон Бойля-Мариотта для идеального газа, найдём изменение объёма исходя из изменения давления и температуры:

$$\frac{P_1\cdot V_1}{T_1}=\frac{P_2\cdot V_2}{T_2},$$

где $P_1$ и $P_2$ - начальное и конечное давление соответственно, $V_2$ - объём конечного состояния воздуха, $T_1$ и $T_2$ - начальная и конечная температуры соответственно.

Из условия известны $P_1=5$ атм, $P_2=5$ атм (так как изменяется воздух находится в изотермическом процессе), $T_1=10$ градусов и $T_2=35$ градусов.

Подставим известные значения в уравнение:

$$\frac{5\text{атм}\cdot V_1}{{10\text{град}}^{\circ }}=\frac{5\text{атм}\cdot V_2}{{35\text{град}}^{\circ }}.$$

Так как конечное и начальное давление равны, а температуры заданы в градусах Цельсия, то дроби сократятся и уравнение можно переписать так:

$$\frac{V_1}{10}=\frac{V_2}{35}.$$

Теперь, решим уравнение относительно $V_2$:

$$35\cdot V_1=10\cdot V_2\Rightarrow V_2=\frac{35}{10}\cdot V_1.$$

Окончательно, найдём изменение высоты поднятия поршня, зная, что объём пропорционален площади основания и высоте поднятия:

$$V_2=0.06{\text{м}}^2\cdot h_2,$$

где $h_2$ - изменение высоты поднятия поршня.

Подставим значение $V_2$ в данное уравнение:

$$\frac{35}{10}\cdot V_1=0.06{\text{м}}^2\cdot h_2.$$

Так как $V_1=0.06{\text{м}}^2\cdot h_1$, можем выразить $h_2$ через $h_1$:

$$h_2=\frac{35}{10}\cdot h_1.$$

Таким образом, изменение высоты поднятия поршня равно $\frac{35}{10}$ раз начальной высоты поднятия поршня.

Для определения работы, выполненной при изотермическом нагревании, воспользуемся уравнением работы газа:

$$A=P\cdot \mathrm{\Delta }V,$$

где $A$ - работа, $P$ - давление газа, $\mathrm{\Delta }V$ - изменение объёма.

Подставляя значения в данное уравнение, получим:

$$A=5\text{атм}\cdot \frac{35}{10}\cdot V_1-5\text{атм}\cdot V_1=2\text{атм}\cdot V_1.$$

Таким образом, работа, выполненная при изотермическом нагревании воздуха, равна $2\text{атм}\cdot V_1$.