Какое будет наименьшее значение выражения a2+b2+c2−ab−bc−c? Поясните

Черешня

64

Конечно! Для решения данной задачи нам потребуется некоторый аналитический подход. Позвольте разберемся пошагово.

Мы имеем выражение: \(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac\).

Первым шагом мы можем попробовать упростить данное выражение, чтобы сделать его более понятным и легким для расчетов. Для этого мы можем сгруппировать некоторые члены схожего типа. Давайте проделаем это:

\(a^2 - 2ab + b^2 + b^2 - 2bc + c^2 + c^2 - 2ac\).

Теперь мы можем преобразовать члены, чтобы они стали квадратными биномами:

\((a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2\).

Мы видим, что три последних члена являются суммой квадратов разностей переменных. Это похоже на выражение "Тождество суммы квадратов". Если вы знакомы с этим тождеством, то можете сразу применить его и получить ответ, но для повторения и уяснения давайте разберемся пошагово.

Теперь мы можем заметить, что выражение \((a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2\) будет минимальным, когда каждая сумма квадратов разности переменных будет равна нулю. Но как это достичь?

Пусть \((a - b)^2 = 0\). Это эквивалентно тому, что \(a - b = 0\), или \(a = b\).

Аналогично, мы можем получить \(b = c\) и \(c = a\).

Таким образом, нам нужно, чтобы все переменные были равны между собой.

Исходя из этого, наименьшее возможное значение выражения будет равно нулю, когда \(a = b = c\).

Итак, ответ на задачу: наименьшее значение выражения \(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac\) равно 0, когда \(a = b = c\).

Надеюсь, этот пошаговый разбор помог вам лучше понять решение задачи.