Каковы первый член и разность арифметической прогрессии, если с20=0 и с66=-92?

Kosmicheskaya_Panda_7803

35

Хорошо, давайте решим эту задачу по шагам.

У нас есть арифметическая прогрессия с неизвестным первым членом (обозначим его как \(a_1\)) и неизвестной разностью (обозначим ее как \(d\)).

Мы знаем, что \(c_{20} = 0\) и \(c_{66} = -92\), где \(c_{20}\) и \(c_{66}\) - это 20-ый и 66-ый члены прогрессии соответственно.

1. Найдем разность прогрессии (\(d\)).

Разность арифметической прогрессии вычисляется как разность между любыми двумя последовательными членами. Обозначим разность как \(d\), тогда:

\[d = c_{n+1} - c_n\]

Где \(c_n\) - это \(n\)-ый член прогрессии.

Используя информацию из условия задачи, найдем разность прогрессии:

\[d = c_{21} - c_{20}\]

Мы также можем использовать информацию о второй паре членов прогрессии:

\[d = c_{67} - c_{66}\]

Теперь мы можем сравнить эти два выражения:

\[c_{21} - c_{20} = c_{67} - c_{66}\]

Подставляем значения: \(c_{20} = 0\) и \(c_{66} = -92\):

\[c_{21} - 0 = c_{67} - (-92)\]
\[c_{21} = c_{67} + 92\]

2. Найдем первый член прогрессии (\(a_1\)).

По определению арифметической прогрессии, каждый член вычисляется следующим образом:

\[c_n = a_1 + (n - 1) \cdot d\]

Где \(n\) - это номер члена прогрессии.

Используя информацию из условия задачи, найдем первый член прогрессии:

\[c_{20} = a_1 + (20 - 1) \cdot d\]

Подставляем значение \(c_{20} = 0\):

\[0 = a_1 + 19 \cdot d\]

Также мы можем использовать информацию о второй паре членов прогрессии:

\[c_{66} = a_1 + (66 - 1) \cdot d\]

Подставляем значение \(c_{66} = -92\):

\[-92 = a_1 + 65 \cdot d\]

3. Решим систему уравнений для нахождения \(a_1\) и \(d\).

Теперь мы имеем два уравнения относительно \(a_1\) и \(d\):

\[
\begin{cases}
0 = a_1 + 19 \cdot d \\
-92 = a_1 + 65 \cdot d
\end{cases}
\]

Есть различные способы решения этой системы уравнений, например, с помощью метода подстановок или метода исключения. Я воспользуюсь методом исключения.

Вычтем первое уравнение из второго:

\[-92 - 0 = (a_1 + 65 \cdot d) - (a_1 + 19 \cdot d)\]
\[-92 = 65 \cdot d - 19 \cdot d\]
\[-92 = 46 \cdot d\]

Теперь мы можем найти значение разности \(d\):

\[d = \frac{-92}{46}\]
\[d = -2\]

Затем, подставим значение разности \(d\) в одно из уравнений, чтобы найти первый член \(a_1\):

\[0 = a_1 + 19 \cdot (-2)\]
\[0 = a_1 - 38\]
\[a_1 = 38\]

Таким образом, первый член арифметической прогрессии равен 38, а разность равна -2.