Какое будет произведение комплексных чисел z1 = корень из 5i и z2 = 4 корня?

Dobryy_Drakon

3

Чтобы найти произведение комплексных чисел \( z_1 = \sqrt{5i} \) и \( z_2 = 4\sqrt{i} \), давайте сначала приведем их к алгебраической форме.

Для этого мы знаем, что комплексное число \( z = a + bi \), где \( a \) - это действительная часть, а \( b \) - мнимая часть.

Начнем с числа \( z_1 \):

\( z_1 = \sqrt{5i} \)

Чтобы найти алгебраическую форму для \( z_1 \), мы должны найти значение \( a \) и \( b \).

Предположим, что \( z_1 = a + bi \).

Мы знаем, что \( a \) - это действительная часть, поэтому мы ищем значение \( a \).

Какое число приходит на ум, когда мы возводим что-то в квадрат, чтобы получить \( 5i \)? Ответ - это число \( i \)!

Теперь выразим это в алгебраической форме:

\( i = 0 + 1i \)

Теперь возведем \( i \) в квадрат:

\( i^2 = (0 + 1i)^2 \)

\( i^2 = -1 \)

Итак, мы проводим подстановку \( i^2 = -1 \) вместо \( 5i \) в \( z_1 \):

\( z_1 = \sqrt{-i} \)

\( z_1 = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{i} \)

\( z_1 = i \cdot \sqrt{i} \)

Осталось выразить \( z_1 \) в алгебраической форме. Давайте умножим \( i \) на \( \sqrt{i} \):

\( z_1 = i \cdot \sqrt{i} \)

Мы можем записать \( \sqrt{i} \) в алгебраической форме, предположив, что \( \sqrt{i} = a + bi \). Тогда:

\( (\sqrt{i})^2 = (a + bi)^2 \)

\( i = a^2 + 2abi - b^2 \)

Используем свойство мнимой единицы \( i^2 = -1 \), чтобы продолжить:

\( i = a^2 + 2abi - b^2 \)

\( i = a^2 - b^2 + 2abi \)

Теперь мы сравниваем коэффициенты слева и справа:

Действительная часть слева равна действительной части справа:

\( 0 = a^2 - b^2 \)

Мнимая часть слева равна мнимой части справа:

\( 1 = 2ab \)

Имея систему уравнений:

\[
\begin{cases}
a^2 - b^2 = 0 \\
2ab = 1 \\
\end{cases}
\)

Мы можем решить эту систему для \( a \) и \( b \).

Используя первое уравнение, мы можем получить \( b^2 \) в терминах \( a \):

\( b^2 = a^2 \)

Теперь подставим это значение во второе уравнение:

\( 2a \cdot a = 1 \)

\( 2a^2 = 1 \)

Разделим обе части на 2:

\( a^2 = \frac{1}{2} \)

Извлечем квадратный корень:

\( a = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} \)

Теперь найдем значение \( b \) с помощью второго уравнения:

\( 2ab = 1 \)

Подставим значение \( a \):

\( 2\left(\pm \sqrt{\frac{1}{2}}\right)b = 1 \)

Разделим обе части на 2:

\( b = \frac{1}{\pm 2\sqrt{\frac{1}{2}}} \)

Теперь, когда мы нашли \( a \) и \( b \), мы можем записать \( \sqrt{i} \) в алгебраической форме:

\[
\sqrt{i} = \pm \left(\sqrt{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{2}}}i\right)
\]

Теперь мы можем перейти к вычислению \( z_1 \):

\( z_1 = i \cdot \sqrt{i} \)

Мы всего лишь умножаем \( i \) на \( \sqrt{i} \):

\( z_1 = i \cdot \left(\pm \sqrt{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{2}}}i\right) \)

Раскроем скобки:

\( z_1 = \pm i \sqrt{\frac{1}{2}} + \frac{i}{2\sqrt{\frac{1}{2}}}i \)

\( z_1 = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}i + \frac{i^2}{2\sqrt{\frac{1}{2}}} \)

Используем значение \( i^2 = -1 \):

\( z_1 = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}i + \frac{-1}{2\sqrt{\frac{1}{2}}} \)

Упростим:

\( z_1 = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}i - \frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{2}}} \)

Теперь перейдем к числу \( z_2 \):

\( z_2 = 4\sqrt{i} \)

Мы можем записать \( \sqrt{i} \) в алгебраической форме, используя предыдущие вычисления:

\( \sqrt{i} = \pm \left(\sqrt{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{2}}}i\right) \)

Теперь мы можем вычислить \( z_2 \), умножив \( 4 \) на \( \sqrt{i} \):

\( z_2 = 4\left(\pm \sqrt{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{2}}}i\right) \)

Раскроем скобки:

\( z_2 = \pm 4 \sqrt{\frac{1}{2}} + \frac{4i}{2\sqrt{\frac{1}{2}}} \)

Упростим:

\( z_2 = \pm 4 \sqrt{\frac{1}{2}} + 2i \sqrt{\frac{1}{2}} \)

Теперь, чтобы найти произведение \( z_1 \) и \( z_2 \), мы просто умножим их:

\( z_1 \cdot z_2 = \left(\pm \sqrt{\frac{1}{2}}i - \frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{2}}}\right) \cdot \left(\pm 4 \sqrt{\frac{1}{2}} + 2i \sqrt{\frac{1}{2}}\right) \)

Раскроем скобки:

\( z_1 \cdot z_2 = \left(\pm \sqrt{\frac{1}{2}}i\right) \cdot \left(\pm 4 \sqrt{\frac{1}{2}}\right) + \left(\pm \sqrt{\frac{1}{2}}i\right) \cdot \left(2i \sqrt{\frac{1}{2}}\right) - \frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{2}}}\cdot \left(\pm 4 \sqrt{\frac{1}{2}}\right) - \frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{2}}} \cdot \left(2i \sqrt{\frac{1}{2}}\right) \)

Упростим:

\( z_1 \cdot z_2 = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}i \cdot \pm 2 \sqrt{\frac{1}{2}} + \pm \frac{1}{\sqrt{2}}i \cdot 2i \sqrt{\frac{1}{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \pm 2 \sqrt{\frac{1}{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 2i \sqrt{\frac{1}{2}} \)

\( z_1 \cdot z_2 = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}i \cdot \pm 2 \sqrt{\frac{1}{2}} + \pm \frac{1}{\sqrt{2}}i \cdot 2i \sqrt{\frac{1}{2}} - \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 2 \sqrt{\frac{1}{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 2i \sqrt{\frac{1}{2}} \)

Упростим:

\( z_1 \cdot z_2 = \pm \frac{2i}{\sqrt{2}} + \pm \frac{2i}{\sqrt{2}} \cdot i - \pm \sqrt{2} - \pm \sqrt{2} \cdot i \)

\( z_1 \cdot z_2 = \pm \frac{2i}{\sqrt{2}} - \pm \frac{2}{\sqrt{2}} - \pm \sqrt{2} \cdot i \pm \sqrt{2} \cdot i^2 \)

Используем значение \( i^2 = -1 \):

\( z_1 \cdot z_2 = \pm \frac{2i}{\sqrt{2}} - \pm \frac{2}{\sqrt{2}} - \pm \sqrt{2} \cdot i \pm \sqrt{2} \cdot (-1) \)

Упростим:

\( z_1 \cdot z_2 = \pm \frac{2i}{\sqrt{2}} - \pm \frac{2}{\sqrt{2}} + \mp \sqrt{2}i \mp \sqrt{2} \)

Остается упростить выражение и объединить подобные члены:

\( z_1 \cdot z_2 = \left( \pm \frac{2i}{\sqrt{2}} - \mp \sqrt{2} \right) + \left( \pm \frac{2i}{\sqrt{2}} - \mp \frac{2}{\sqrt{2}} \right)i \)

В заключение, произведение комплексных чисел \( z_1 = \sqrt{5i} \) и \( z_2 = 4\sqrt{i} \) равно:

\( z_1 \cdot z_2 = \left( \pm \frac{2i}{\sqrt{2}} - \mp \sqrt{2} \right) + \left( \pm \frac{2i}{\sqrt{2}} - \mp \frac{2}{\sqrt{2}} \right)i \)

Это наше окончательное решение.