Какое будет уравнение окружности, полученной из исходной окружности с уравнением (x+4)^2 +(y-1)^2=9 после поворота

Амелия

49

Для нахождения уравнения окружности после поворота на 90 градусов против часовой стрелки относительно точки A(-3;2), нам понадобится знать следующие свойства:

1. При повороте окружности на 90 градусов относительно точки A(-3;2), каждая точка окружности будет смещена на такое же расстояние от точки A, как и в исходной окружности.

2. При повороте фигуры на 90 градусов против часовой стрелки уравнение окружности меняет знаки коэффициентов x и y, и знак коэффициента при одном из слагаемых (x или y) также меняется.

Исходное уравнение окружности: \((x+4)^2 + (y-1)^2 = 9\)

Для того чтобы повернуть окружность на 90 градусов против часовой стрелки относительно точки A(-3;2), сначала найдем расстояние от центра исходной окружности до точки поворота A.

Расстояние между двумя точками на плоскости вычисляется с помощью формулы расстояния между точками:

\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]

Где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты двух точек.

Заменив в этой формуле значения соответствующих координат, получим:

\[d = \sqrt{((-3) - (-4))^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\]

Теперь, зная расстояние d, сместим центр исходной окружности на такое же расстояние, но в противоположном направлении от точки A.

Координаты нового центра окружности будут:

\[x_c = -3 - \sqrt{2}\]
\[y_c = 2 + \sqrt{2}\]

Таким образом, новый центр окружности будет находиться в точке \((-3 - \sqrt{2}; 2 + \sqrt{2})\).

Теперь, зная новые координаты центра окружности, уравнение окружности после поворота на 90 градусов против часовой стрелки можно записать следующим образом:

\[((x - (-3 - \sqrt{2}))^2 + (y - (2 + \sqrt{2}))^2) = 9\]

Упростим это уравнение:

\[((x + 3 + \sqrt{2})^2 + (y - 2 - \sqrt{2})^2) = 9\]

Таким образом, уравнение окружности, полученной после поворота на 90 градусов против часовой стрелки относительно точки A(-3;2), будет \((x + 3 + \sqrt{2})^2 + (y - 2 - \sqrt{2})^2 = 9\).