Какова высота конуса, у которого осевое сечение представляет собой треугольник, стороны которого равны 16 см, 16 см

Kartofelnyy_Volk

19

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать теорему Пифагора и свойства подобных фигур.

Пусть высота конуса равна \( h \), а радиус основания равен \( r \).

Треугольник, образованный осевым сечением конуса, является равнобедренным, так как две стороны равны 16 см. Обозначим третью сторону как \( s \).

По свойствам равнобедренного треугольника, высота проведенная из вершины конуса к основанию будет являться медианой и медиана разделяет основание на две равные части. Таким образом, основание треугольника будет равно \( 16 / 2 = 8 \) см.

Теперь, применив теорему Пифагора к полученному прямоугольному треугольнику с катетами 8 см и \( r \) и гипотенузой 16 см (половина третьей стороны треугольника), получим следующее равенство:

\[ 8^2 + r^2 = 16^2 \]
\[ 64 + r^2 = 256 \]
\[ r^2 = 256 - 64 \]
\[ r^2 = 192 \]

Теперь найдем радиус основания конуса. Возведем обе части равенства в квадрат:

\[ r = \sqrt{192} \]

Так как мы ищем высоту конуса, исполним свойства подобных фигур. Рассмотрим прямоугольный треугольник, который образуется осью конуса, его высотой и радиусом \( r \). Треугольник, образованный этой осью, высотой конуса и радиусом его основания, будет подобным соответствующему прямоугольному треугольнику, которому мы уже знаем все стороны.

Пропорция подобия между треугольниками будет следующей:

\[ \frac{h}{r} = \frac{16}{8} \]

Теперь, зная, что \( r = \sqrt{192} \), и, решив пропорцию, получим значение высоты конуса \( h \):

\[ \frac{h}{\sqrt{192}} = \frac{16}{8} \]
\[ \frac{h}{\sqrt{192}} = 2 \]

Теперь возведем обе части равенства в квадрат, чтобы избавиться от корня:

\[ h = 2\sqrt{192} \]

Таким образом, высота конуса, у которого осевое сечение представляет собой треугольник со сторонами 16 см, 16 см и 8 см, равна \( 2\sqrt{192} \) см.