Какое было минимальное количество рабочих в первой бригаде, если две бригады работали на разных участках дороги? Объем

Весенний_Лес

3

Давайте решим эту задачу шаг за шагом и найдем минимальное количество рабочих в первой бригаде.

Пусть \(х\) - количество рабочих в первой бригаде. Тогда количество рабочих во второй бригаде будет равно \(x + 10\), так как первая бригада имеет на 10 рабочих меньше, чем вторая.

Также, объем работы на втором участке был в два раза больше, чем на первом. Это значит, что если количество работы на первом участке равно \(y\), то количество работы на втором участке будет \(2y\).

Производительность труда всех рабочих одинакова. Поэтому можно сказать, что время, затраченное рабочими первой бригады на выполнение работы на первом участке, равно времени, затраченному рабочими второй бригады на выполнение работы на втором участке.

Так как бригады начали работу одновременно, и когда первая бригада закончила, вторая продолжала работать, мы можем сформулировать следующее уравнение:

\(\frac{y}{x} = \frac{2y}{x + 10}\)

Разрешим это уравнение:

\(\frac{y}{x} = \frac{2y}{x + 10}\)

Умножим обе части на \(x(x + 10)\), чтобы избавиться от знаменателей:

\(y(x + 10) = 2yx\)

Раскроем скобки:

\(yx + 10y = 2yx\)

Перенесем все члены с \(yx\) на одну сторону:

\(2yx - yx = 10y\)

\((2x - y)x = 10y\)

\((x(2 - 1))x = 10y\)

\(x^2 = 10y\)

Теперь, поскольку задача требует найти минимальное количество рабочих в первой бригаде, мы должны найти наименьшее значение \(x\), удовлетворяющее этому уравнению.

Поскольку \(x^2 = 10y\), то \(x\) должно быть положительным целым числом, а \(10y\) должно быть полным квадратом.

Наименьшее полное квадратное число, которое можно получить путем умножения на 10, равно 100. Поэтому \(10y = 100\) и, следовательно, \(y = 10\).

Подставим значение \(y\) обратно в уравнение \(x^2 = 10y\):

\(x^2 = 10 \cdot 10\)

\(x^2 = 100\)

Так как мы ищем минимальное количество рабочих, возьмем положительное значение \(x\), равное корню из 100:

\(x = \sqrt{100} = 10\)

Таким образом, минимальное количество рабочих в первой бригаде равно 10.

Ответ: б) 12.