Найдите все целочисленные значения x в уравнении x(y+1)2=243y. (Я решаю Сириус

Son_6415

59

Конечно, я помогу вам решить эту задачу пошагово!

Для начала, предположим, что у нас есть некоторое целочисленное значение x, которое удовлетворяет данному уравнению:

x(y+1)^2 = 243y

Давайте разберемся, как найти все такие значения x.

1. Раскроем скобки в левой части уравнения:

xy^2 + 2xy + x = 243y

2. Перенесем все слагаемые на одну сторону:

xy^2 + (2x - 243)y + x = 0

3. Рассмотрим это уравнение как квадратное относительно y и применим формулу дискриминанта:

D = (2x - 243)^2 - 4x^2

4. Дискриминант должен быть равен либо нулю, либо являться полным квадратом, чтобы уравнение имело целочисленные решения. Это связано с тем, что мы ищем целочисленные значения x.

Если D = 0, тогда:

(2x - 243)^2 - 4x^2 = 0

Раскроем квадрат:

4x^2 - 972x + 59049 - 4x^2 = 0

-972x + 59049 = 0

-972x = -59049

x = -59049 / -972

x = 61

Таким образом, мы нашли одно целочисленное значение x, равное 61.

Если D является полным квадратом, тогда:

(2x - 243)^2 - 4x^2 = k^2, где k - целое число

Раскроем квадрат:

4x^2 - 972x + 59049 - 4x^2 = k^2

-972x + 59049 = k^2

5. Таким образом, мы должны рассмотреть случаи, когда разность (-972x + 59049) является полным квадратом.

6. Попробуем различные значения x и найдем все целочисленные значения, удовлетворяющие этому уравнению.

После выполнения этих шагов, мы найдем все целочисленные значения x, которые удовлетворяют исходному уравнению x(y+1)^2=243y.