Каковa вероятность того, что при 8-ми бросках игральной кости будут выпадать все грани хотя бы по одному разу и хотя

Печка_875

18

Для решения данной задачи мы можем использовать комбинаторику и принцип включений-исключений.

Посчитаем, сколько всего возможностей выпадения граней у игральной кости при 8 бросках. У нас есть 6 возможных граней (от 1 до 6) и 8 бросков, поэтому всего возможных комбинаций будет \(6^8 = 16777216\).

Теперь посчитаем, сколько комбинаций удовлетворяют условию "все грани выпали хотя бы по одному разу". Для этого воспользуемся принципом включений-исключений.

Первое условие: грань 1 выпала хотя бы один раз. Мы можем выбрать одну из 6 граней, которая выпала хотя бы один раз, и распределить остальные 7 бросков по 5 граням, исключая грань 1 (так как она уже выпала). Таким образом, количество комбинаций для этого условия равно \(6 \cdot 5^7\).

Однако, при этом подсчете, мы учли комбинации, где все грани выпали по одному разу, поэтому нужно вычесть их из общего количества комбинаций. Количество комбинаций, где все грани выпали по одному разу: \(6 \cdot 5^8\).

Вычтем эти комбинации из общего количества комбинаций и получим количество комбинаций, где хотя бы одна грань не выпала ни разу: \(6 \cdot 5^7 - 6 \cdot 5^8\).

Теперь найдем вероятность того, что выполняется данное условие. Для этого разделим количество комбинаций, удовлетворяющих условию, на общее количество комбинаций.

Итак, вероятность того, что при 8 бросках игральной кости будут выпадать все грани хотя бы по одному разу и хотя бы одна грань не выпадет ни разу, равна:
\[\frac{6 \cdot 5^7 - 6 \cdot 5^8}{6^8}\]

Для удобства более точного расчета можно сократить выражение:
\[\frac{5^7 - 5^8}{6^7}\]

Окончательный ответ:
\[P = \frac{5^7 - 5^8}{6^7}\]