Какое число двузначное число делится на сумму его цифр и даёт в результате 6, а имеет остаток 8? При делении

Viktorovich

12

Давайте решим эту задачу пошагово:

Пусть двузначное число, которое мы ищем, будет представлено в виде аб - это число, где а - десяток, а b - единицы (а и b отличны от нуля).

Согласно условию задачи, это число делится на сумму его цифр, то есть: (10a + b) делится на (a + b). И мы знаем, что результат этого деления равен 6 и имеет остаток 8. Мы можем записать это в виде уравнения:

\[10a + b = 6(a + b) + 8\]

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\[10a + b = 6a + 6b + 8\]

Теперь сгруппируем переменные с a и b:

\[10a - 6a = 6b - b + 8\]

\[4a = 5b + 8\]

Теперь, когда у нас есть это уравнение, мы можем приступить к следующему условию задачи. Число также делится на разность цифр десятков и единиц, то есть (10a + b) делится на (a - b). Мы знаем, что результат деления равен 24, а остаток равен 2. И это также можно записать в виде уравнения:

\[10a + b = 24(a - b) + 2\]

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\[10a + b = 24a - 24b + 2\]

Сгруппируем переменные с a и b:

\[10a - 24a = -24b + b + 2\]

\[-14a = -23b + 2\]

Теперь у нас есть система уравнений:

\[\begin{cases} 4a = 5b + 8 \\ -14a = -23b + 2 \end{cases}\]

Давайте решим эту систему уравнений с использованием метода замещения:

Из первого уравнения можно выразить a через b:

\[a = \frac{5b + 8}{4}\]

Подставим это значение a во второе уравнение:

\[-14\left(\frac{5b + 8}{4}\right) = -23b + 2\]

Домножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дробей:

\[-14(5b + 8) = -92b + 8\]

Раскроем скобки:

\[-70b - 112 = -92b + 8\]

Теперь сгруппируем переменные с b и константы:

\[-70b + 92b = 8 + 112\]

\[22b = 120\]

Разделим обе части на 22, чтобы найти значение b:

\[b = \frac{120}{22} = 5.45\]

Так как b должно быть целым числом, округлим его до ближайшего целого:

\[b \approx 5\]

Теперь, когда у нас есть значение b, мы можем найти значение a, подставив его в первое уравнение:

\[a = \frac{5(5) + 8}{4} = \frac{33}{4} = 8.25\]

Опять же, a должно быть целым числом, а не дробью, поэтому округлим его:

\[a \approx 8\]

Таким образом, мы получили значения a и b: a = 8 и b = 5. Чтобы найти искомое двузначное число, соберем значения a и b вместе:

\[ab = 85\]

Итак, двузначное число, которое делится на сумму своих цифр и дает в результате 6, а имеет остаток 8, а также при делении на разность цифр десятков и единиц имеет частное 24 и остаток 2, равно 85.