Каким равен предел последовательности (an), где n-й член данной последовательности определен формулой an=-2n?

Морской_Искатель_5300

27

Хорошо! Нам дана последовательность \((a_n)\), где \(n\)-й член определен формулой \(a_n = -2n\). Мы хотим найти предел этой последовательности.

Для начала, давайте вычислим несколько первых членов этой последовательности, чтобы увидеть некоторую закономерность. Подставим значения \(n = 1, 2, 3, 4\) и так далее в формулу \(a_n = -2n\):

\(a_1 = -2 \cdot 1 = -2\),
\(a_2 = -2 \cdot 2 = -4\),
\(a_3 = -2 \cdot 3 = -6\),
\(a_4 = -2 \cdot 4 = -8\).

Мы видим, что каждый следующий член последовательности отличается от предыдущего на 2. Видим закономерность: \(a_{n+1} = -2(n+1)\) будет на 2 меньше, чем \(a_n = -2n\). Это говорит нам, что вся последовательность стремится к \(-\infty\) (минус бесконечность).

Чтобы это доказать, давайте попробуем оценить предел этой последовательности формально. Для этого используем определение предела.

По определению, последовательность \((a_n)\) сходится к пределу \(L\), если для любого числа \(\varepsilon > 0\) существует такое натуральное число \(N\), что для всех \(n > N\) выполняется \(|a_n - L| < \varepsilon\).

В данном случае, мы хотим показать, что последовательность \((a_n)\) сходится к \(-\infty\), то есть \(\lim_{n \to \infty} a_n = -\infty\).

Давайте возьмем произвольное число \(\varepsilon > 0\). Мы должны найти такое натуральное число \(N\), начиная с которого все члены последовательности \((a_n)\) будут отличаться от \(-\infty\) менее, чем на \(\varepsilon\).

Мы знаем, что \(a_n = -2n\) и хотим найти такое \(N\), чтобы для всех \(n > N\) выполнялось

\(|a_n - (-\infty)| < \varepsilon\).

Поскольку \(-\infty\) не является конкретным числом, а скорее понятием, мы можем сделать оценку.

Пусть \(\varepsilon_0\) - это некоторое положительное число (давайте возьмем, например, \(\varepsilon_0 = 1\)).

\((-2n) < \varepsilon_0\) выполняется, если \(n > |-\varepsilon_0/2|\),

\(n > \frac{1}{2}\).

То есть, любое натуральное число \(N\), большее \(\frac{1}{2}\), будет подходить. То есть, существует такое натуральное число \(N\), начиная с которого все члены последовательности \(a_n\) действительно будут близки к \(-\infty\) в том смысле, что их можно сделать произвольно близкими к \(-\infty\) путем выбора достаточно больших значений \(n\).

Таким образом, предел последовательности \((a_n)\) равен \(-\infty\). Мы можем записать это следующим образом:

\(\lim_{n \to \infty} a_n = -\infty\).

Надеюсь, этот подробный ответ будет полезен для понимания школьником предела данной последовательности. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!