С использованием обобщенной теоремы Виета, найдите третье степенной многочлен, имеющий корни в множестве

Магический_Замок

38

Для того чтобы найти третье степенной многочлен, имеющий заданные корни, мы можем воспользоваться обобщенной теоремой Виета. Обобщенная теорема Виета позволяет нам найти многочлен, зная его корни и старший коэффициент.

Предположим, что третье степенной многочлен имеет корни \(a\), \(b\) и \(c\). Согласно обобщенной теореме Виета:
- Коэффициент перед \(x^3\) равен 1, так как это третья степень многочлена.
- Сумма корней равна противоположному знаку коэффициента перед \(x^2\). Обозначим этот коэффициент как \(-p\), где \(p\) - положительное число.
- Сумма всех возможных произведений двух различных корней равна коэффициенту перед \(x\). Обозначим этот коэффициент как \(q\).

Используя эти свойства, мы можем записать данный многочлен в следующем виде:
\[x^3 - px^2 + qx - abc = 0\]

Где \(p\) и \(q\) - некоторые числа, зависящие от корней многочлена, а \(abc\) - произведение всех корней.

Таким образом, мы можем выразить искомый третье степенной многочлен с заданными корнями \(a\), \(b\) и \(c\) следующим образом:
\[x^3 - (a + b + c)x^2 + (ab + ac + bc)x - abc = 0\]

Итак, третье степенной многочлен с корнями \(a\), \(b\) и \(c\) будет иметь вид \(x^3 - (a + b + c)x^2 + (ab + ac + bc)x - abc = 0\).

Пожалуйста, обратите внимание, что данное решение было получено с использованием обобщенной теоремы Виета и предполагает, что корни многочлена заданы. Также, учтите, что мощности корней, их знаки и значения коэффициентов \(p\) и \(q\) могут быть различными для каждого конкретного случая.