Какое число равно умножению трёх последовательных целых чисел, если сумма результатов деления этого числа на каждое

Хвостик

62

Давайте решим эту задачу пошагово.

Предположим, что первое число в нашей последовательности целых чисел равно \( x \). Тогда второе число будет равно \( x+1 \), а третье число будет равно \( x+2 \).

Теперь нам нужно выразить число, которое является результатом умножения этих трех чисел. Мы можем записать это как \( x(x+1)(x+2) \).

Из условия задачи также известно, что сумма результатов деления этого числа на каждое из последовательных чисел равна 74.

Давайте выразим это математически:

\[
\frac{{x(x+1)(x+2)}}{x} + \frac{{x(x+1)(x+2)}}{x+1} + \frac{{x(x+1)(x+2)}}{x+2} = 74
\]

Мы можем упростить это уравнение, умножив каждую дробь на соответствующий знаменатель:

\[
(x+1)(x+2) + x(x+2) + x(x+1) = 74
\]

Упростим:

\[
(x^2+3x+2) + (x^2+2x) + (x^2+x) = 74
\]

\[
3x^2+6x+2 = 74
\]

Теперь, чтобы решить это квадратное уравнение, нам нужно привести его к стандартному виду.

Вычитаем 74 с обеих сторон:

\[
3x^2+6x-72 = 0
\]

Далее делим все коэффициенты на 3:

\[
x^2+2x-24 = 0
\]

Теперь нам нужно решить это квадратное уравнение. Мы можем использовать метод факторизации или решение через дискриминант. Для удобства воспользуемся методом факторизации.

Мы ищем два числа, сумма которых равна 2, а произведение равно -24. А эти числа -4 и 6:

\[
(x-4)(x+6) = 0
\]

Теперь у нас есть два возможных значения для \( x \): 4 и -6.

Проверим оба значения:

Для \( x = 4 \), наша последовательность будет состоять из чисел 4, 5 и 6:

\[
4 \cdot 5 \cdot 6 = 120
\]

\[
\frac{120}{4} + \frac{120}{5} + \frac{120}{6} = 30 + 24 + 20 = 74
\]

Таким образом, мы видим, что число 120 удовлетворяет условиям задачи.

Проверим также значение \( x = -6 \):

Для \( x = -6 \), наша последовательность будет состоять из чисел -6, -5 и -4:

\[
-6 \cdot -5 \cdot -4 = -120
\]

\[
\frac{-120}{-6} + \frac{-120}{-5} + \frac{-120}{-4} = 20 + 24 + 30 = 74
\]

Таким образом, число -120 тоже удовлетворяет условиям задачи.

Ответ: Число, равное произведению трех последовательных целых чисел и удовлетворяющее условию задачи, может быть как 120, так и -120.