Какое давление р2 сжатого воздуха и сколько теплоты необходимо отвести от газа при изотермическом сжатии 0.8 кг воздуха

Tigressa

36

Для решения этой задачи, мы можем использовать формулу для работы, совершенной при изотермическом процессе:

\[Работа = н \cdot R \cdot T \cdot \ln\left(\frac{V_1}{V_2}\right)\]

где
\(Работа\) - совершенная работа (дано значение - 100 кДж),
\(н\) - количество молей газа,
\(R\) - газовая постоянная (необходимо использовать соответствующую постоянную для воздуха, равную 0,287 кДж/(кг·К)),
\(Т\) - абсолютная температура (дано значение - 25 °C = 298 К),
\(V_1\) - начальный объём (можно рассчитать, используя массу воздуха и его плотность),
\(V_2\) - конечный объём.

Давление газа может быть рассчитано с использованием уравнения состояния идеального газа:

\[P_1 \cdot V_1 = н \cdot R \cdot T\]

где
\(P_1\) - начальное давление (дано значение - 0.1 МПа).

Теперь давайте приступим к решению задачи:

1. Вычислим начальный объём газа \(V_1\), используя массу \(m\) и плотность \(\rho\) воздуха:

\[V_1 = \frac{m}{\rho}\]

где
\(m\) - масса (дано значение - 0.8 кг),
\(\rho\) - плотность воздуха (для упрощения расчётов, мы можем использовать приближённое значение 1.2 кг/м³).

Подставляем известные значения:
\[V_1 = \frac{0.8}{1.2} = 0.667 \, м³\]

2. Теперь, используя уравнение для совершенной работы, найдём конечный объём \(V_2\):

\[100 \, кДж = н \cdot 0.287 \, кДж/(кг·К) \cdot 298 \, К \cdot \ln\left(\frac{0.667}{V_2}\right)\]

Распишем логарифм и выразим \(V_2\):

\[\ln\left(\frac{0.667}{V_2}\right) = \frac{100 \, кДж}{н \cdot 0.287 \, кДж/(кг·К) \cdot 298 \, К}\]

После этого приводим уравнение к экспоненциальному виду:

\[\frac{0.667}{V_2} = \exp\left(\frac{100 \, кДж}{н \cdot 0.287 \, кДж/(кг·К) \cdot 298 \, К}\right)\]

И выражаем \(V_2\):

\[V_2 = \frac{0.667}{\exp\left(\frac{100 \, кДж}{н \cdot 0.287 \, кДж/(кг·К) \cdot 298 \, К}\right)}\]

3. Теперь, рассчитаем давление сжатого воздуха \(P_2\) с использованием уравнения состояния идеального газа:

\[P_1 \cdot V_1 = н \cdot R \cdot T\]

\[P_2 \cdot V_2 = н \cdot R \cdot T\]

Отсюда, можно выразить \(P_2\):

\[P_2 = \frac{н \cdot R \cdot T}{V_2} = \frac{0.8 \, кг}{0.667} \cdot 0.287 \, кДж/(кг·К) \cdot 298 \, К \cdot \frac{1}{V_2}\]

Подставив значение \(V_2\), мы получим ответ.

Таким образом, необходимо решить следующее уравнение:

\[P_2 = \frac{0.8 \, кг}{0.667} \cdot 0.287 \, кДж/(кг·К) \cdot 298 \, К \cdot \frac{1}{\exp\left(\frac{100 \, кДж}{н \cdot 0.287 \, кДж/(кг·К) \cdot 298 \, К}\right)}\]

После подстановки значений в это уравнение, можно найти значение \(P_2\) и узнать, сколько теплоты необходимо отвести от газа. Давайте вычислим это.