Какое из данных выражений можно переписать в виде суммы квадратов? 1) x² + 16, 2) 25x² + 30x + 9, 3) 4x² - 24x

Жемчуг

66

Чтобы определить, какое из данных выражений можно переписать в виде суммы квадратов, нужно вспомнить некоторые основы алгебры.

Выражение вида \(a^2 + b^2\) описывает сумму квадратов двух переменных \(a\) и \(b\). Этот тип выражения имеет особую формулу разложения, известную как формула суммы квадратов:
\[a^2 + b^2 = (a + b)(a - b)\]

На основе этой формулы мы можем раскладывать некоторые выражения на сумму квадратов.

Теперь рассмотрим данные выражения по очереди:

1) \(x^2 + 16\)

Данное выражение нельзя переписать в виде суммы квадратов. Попытаемся посчитать его значение: если бы мы могли переписать это выражение в виде суммы квадратов, то сможем разложить его на множители и выразить его в произведение двух скобок вида \((x + a)(x - a)\). Однако, невозможно найти такое значение для \(a\), которое позволило бы разложить данное выражение на такие скобки. Таким образом, ответ для данного выражения будет "ни одно из выражений нельзя переписать в виде суммы квадратов".

2) \(25x^2 + 30x + 9\)

Это выражение можно переписать в виде суммы квадратов. Давайте применим формулу суммы квадратов:
\[25x^2 + 30x + 9 = (5x + 3)^2\]

Мы могли это определить, заметив, что коэффициенты при \(x\) образуют арифметическую прогрессию (30 и 9), а квадратный корень из 25 равен 5. Таким образом, данный ответ является верным и выражение можно переписать в виде суммы квадратов.

3) \(4x^2 - 24x + 36\)

Это выражение также можно переписать в виде суммы квадратов. Разложим его с помощью формулы:
\[4x^2 - 24x + 36 = (2x - 6)^2\]

Нам нужно было найти такое значение для \(a\), при котором разложение данного выражения даст нам две такие скобки. Заметим, что при \(a = 6\) коэффициенты при \(x\) также образуют арифметическую прогрессию (-24 и 36). Поэтому выражение можно переписать в виде суммы квадратов.

4) \(x^2 - 12x\)

Это выражение можно переписать в виде суммы квадратов. Применим формулу суммы квадратов:
\[x^2 - 12x = x(x - 12)\]

Мы можем заметить, что данное выражение представляет собой произведение двух таких скобок, где вторая скобка имеет вид \(x - a\), а первая скобка является \(x\). Таким образом, ответ "да, это выражение можно переписать в виде суммы квадратов".

Итак, из данных выражений только \(25x^2 + 30x + 9\) и \(4x^2 - 24x + 36\) можно переписать в виде суммы квадратов. Остальные выражения не соответствуют этому критерию.