Напишите уравнение прямой, которая проходит через точку пересечения линий 3x – 2y + 5 = 0 и x + 2y – 9

Тимур

50

Хорошо, чтобы найти уравнение прямой, которая проходит через точку пересечения данных линий и параллельна линии, нам необходимо выполнить несколько шагов.

1. Найдем точку пересечения данных линий. Для этого решим систему уравнений:
\[
\begin{align*}
3x - 2y + 5 &= 0 \\
x + 2y - 9 &= 0
\end{align*}
\]

Можем воспользоваться методом подстановки или методом сложения-вычитания.

Используя метод сложения-вычитания, сначала умножим второе уравнение на 3, чтобы избавиться от коэффициента 3 в первом уравнении:
\[
\begin{align*}
3(3x - 2y + 5) &= 3(0) \\
3x - 2y + 5 &= 0 \\
3x + 6y - 27 &= 0
\end{align*}
\]

Теперь сложим оба уравнения:
\[
(3x - 2y + 5) + (3x + 6y - 27) = 0
\]
\[
6x + 4y - 22 = 0
\]

Из этого уравнения получаем значение x:
\[
x = \frac{22-4y}{6}
\]

Подставим это значение в первое уравнение и решим его относительно y:
\[
3\left(\frac{22-4y}{6}\right) - 2y + 5 = 0
\]
\[
22 - 4y - 4y + 30 = 0
\]
\[
22 - 8y + 30 = 0
\]
\[
-8y + 52 = 0
\]
\[
-8y = -52
\]
\[
y = \frac{-52}{-8}
\]
\[
y = \frac{13}{2}
\]

Таким образом, точка пересечения линий имеет координаты (x, y) = (2.75, 6.5).

2. Теперь, чтобы найти уравнение прямой, которая проходит через эту точку и параллельна линии \(2x + y + 6 = 0\), мы знаем, что параллельные прямые имеют одинаковый угловой коэффициент.

Уравнение \(2x + y + 6 = 0\) уже находится в стандартной форме для прямой \(Ax + By + C = 0\), где A = 2, B = 1 и C = 6.

Угловой коэффициент этой линии равен -A/B = -2.

3. Используя найденные значения, мы можем записать уравнение итоговой прямой:

Угловой коэффициент линии равен -2 и точка пересечения равна (2.75, 6.5). Поэтому уравнение данной прямой будет иметь вид:
\[
y - 6.5 = -2(x - 2.75)
\]

Давайте раскроем скобки:
\[
y - 6.5 = -2x + 5.5
\]

Перенесем все члены в одну сторону:
\[
2x + y = 12
\]

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку пересечения линий и параллельной линии \(2x + y + 6 = 0\), имеет вид \(2x + y = 12\).