Какое количество часов требуется каждой мастерской для выполнения заказа на пошив оконных штор, если известно

Magnit

8

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Пусть \(x\) - количество часов, которое требуется мастерской Татьяны, чтобы выполнить заказ на пошив оконных штор. Тогда, согласно условию задачи, мастерская шторы затрачивает на 6 часов больше, то есть ей требуется \(x+6\) часов.

Если они работают вместе, то за 1 час они выполняют \(\frac{1}{x}\) работу и \(\frac{1}{x+6}\) работы соответственно.

Мы знаем, что при совместной работе заказ будет выполнен за 4 часа. Значит, за 4 часа они выполняют весь заказ, то есть сумма их работ равна 1.

Уравнение, которое мы можем записать на основе этих данных, будет выглядеть следующим образом:

\[\frac{1}{x} + \frac{1}{x+6} = 1\]

Давайте решим это уравнение. Для начала, умножим обе части уравнение на \(x(x+6)\), чтобы избавиться от знаменателей:

\[x(x+6) \cdot \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+6}\right) = x(x+6) \cdot 1\]

\[x+6 + x = x(x+6)\]

\[2x + 6 = x^2 + 6x\]

Теперь давайте приведём это уравнение к виду квадратного уравнения:

\[0 = x^2 + 6x - 2x - 6\]

\[0 = x^2 + 4x - 6\]

Мы получили квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a = 1\), \(b = 4\) и \(c = -6\). Мы можем решить это уравнение, используя квадратное уравнение.

Чтобы найти решение квадратного уравнения, мы можем использовать формулу корней:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

Подставим значения \(a\), \(b\) и \(c\) в эту формулу и решим уравнение:

\[x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1}\]

\[x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 24}}{2}\]

\[x = \frac{-4 \pm \sqrt{40}}{2}\]

\[x = \frac{-4 \pm \sqrt{4 \cdot 10}}{2}\]

\[x = \frac{-4 \pm 2\sqrt{10}}{2}\]

\[x = -2 \pm \sqrt{10}\]

Таким образом, у нас два решения: \(x = -2 + \sqrt{10}\) и \(x = -2 - \sqrt{10}\). Однако, в данном контексте количество часов не может быть отрицательным, поэтому мы берём только положительное значение:

\[x = -2 + \sqrt{10}\]

Теперь, чтобы найти количество часов, которое потребуется мастерской шторы, мы можем подставить это значение обратно в уравнение \(x+6\).

\[x+6 = (-2 + \sqrt{10}) + 6\]

\[x+6 = 4 + \sqrt{10}\]

Таким образом, мастерской шторы потребуется \(4 + \sqrt{10}\) часов для выполнения заказа на пошив оконных штор.