Какова вероятность, что оба рабочих изготовили изделия второго сорта? Какова вероятность, что хотя бы три изделия

Южанка

7

Давайте рассмотрим данную задачу подробно. Для начала нам потребуется информация о вероятностях изготовления изделий разного качества каждым рабочим. Пусть вероятность изготовления изделия второго сорта первым рабочим равна \(p_1\), а вероятность изготовления изделия второго сорта вторым рабочим равна \(p_2\). В таком случае, вероятность того, что оба рабочих изготовят изделия второго сорта, можно выразить следующей формулой:

\[
P(\text{{оба второго сорта}}) = P(\text{{первый второго сорта}}) \times P(\text{{второй второго сорта}})
\]

Теперь рассмотрим вероятность того, что хотя бы три изделия из четырех будут второго сорта. Для этого нам понадобится вычислить вероятность события "три изделия второго сорта" и прибавить к ней вероятность события "четыре изделия второго сорта". Предположим, что изготовление каждого изделия является независимым событием. В таком случае, вероятность того, что ровно \(k\) изделий второго сорта из \(n\) будут второго сорта, можно выразить следующей формулой для \(k = 0, 1, 2, \ldots, n\):

\[
P_k = \binom{n}{k} \times (p_2^k) \times ((1 - p_2)^{n-k})
\]

где \(\binom{n}{k}\) обозначает число сочетаний из \(n\) по \(k\). Таким образом, вероятность того, что хотя бы три изделия из четырех будут второго сорта, можно выразить следующей формулой:

\[
P(\text{{хотя бы три изделия второго сорта}}) = P_3 + P_4
\]

Наконец, рассмотрим вероятность того, что менее трех изделий из четырех будут второго сорта. Для этого можем использовать дополнение к событию "хотя бы три изделия второго сорта". То есть:

\[
P(\text{{менее трех изделий второго сорта}}) = 1 - P(\text{{хотя бы три изделия второго сорта}})
\]

Таким образом, пользуясь указанными формулами и значениями вероятностей \(p_1\) и \(p_2\), мы можем рассчитать все три заданные вероятности.