Какое количество градусов Цельсия нагрелась алюминиевая проволока за то же время, если стальная проволока нагрелась

Путешественник

49

Чтобы решить эту задачу, мы должны использовать уравнение теплопроводности:

\[
q = \dfrac{P}{A} \cdot \dfrac{t}{\lambda}
\]

Где \(q\) - количество теплоты, \(P\) - мощность, \(A\) - площадь поперечного сечения, \(t\) - время, и \(\lambda\) - удельное сопротивление материала.

Мы знаем, что стальная проволока нагрелась на 9,2 °С. Для стали \(\lambda = 0,1\) Ом ⋅ мм² / м. Площадь поперечного сечения стальной проволоки \(A_cт = 1\) мм².

Мы хотим найти, на сколько градусов Цельсия нагрелась алюминиевая проволока за то же время. Площадь поперечного сечения алюминиевой проволоки \(A_aл = 2\) мм².

Заменим известные значения в уравнении:

\[
\dfrac{P}{A_cт} \cdot \dfrac{t}{\lambda_cт} = \dfrac{P}{A_aл} \cdot \dfrac{t}{\lambda_aл}
\]

Так как мощность и время одинаковы для обеих проволок, мы можем сократить их:

\[
\dfrac{1}{A_cт} \cdot \dfrac{1}{\lambda_cт} = \dfrac{1}{A_aл} \cdot \dfrac{1}{\lambda_aл}
\]

Теперь найдем количество градусов Цельсия, на которое нагрелась алюминиевая проволока. Для этого нам нужно найти отношение удельных сопротивлений:

\[
\dfrac{1}{A_aл} \cdot \dfrac{1}{\lambda_aл} = \dfrac{1}{A_cт} \cdot \dfrac{1}{\lambda_cт}
\]

Подставим известные значения:

\[
\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{\lambda_aл} = \dfrac{1}{1} \cdot \dfrac{1}{0,1}
\]

Упростим это выражение:

\[
\dfrac{1}{2\lambda_aл} = \dfrac{10}{1}
\]

Получаем:

\[
\lambda_aл = \dfrac{1}{2\cdot10} = 0,05
\]

Теперь можем найти количество градусов Цельсия, на которое нагрелась алюминиевая проволока:

\[
\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{0,05} = 10
\]

Ответ: Алюминиевая проволока нагрелась на 10 °С. Ответ округляем до целого числа, поэтому окончательный ответ равен 10 градусам Цельсия.