Какое количество компонент связности может быть в графе с 18 вершинами, где степень каждой вершины равна 2 или

Кузя

51

Для решения этой задачи давайте начнем с определения компонента связности в графе. Компонента связности графа - это максимальное подмножество вершин графа такое, что между любыми двумя вершинами этого подмножества существует путь.

У нас есть граф с 18 вершинами, и все вершины имеют степень 2 или 5. Будем предполагать, что у нас есть \(k\) компонент связности в этом графе. Обозначим через \(n_2\) количество вершин степени 2 и через \(n_5\) количество вершин степени 5.

Так как каждая вершина степени 2 имеет только две смежные вершины, все вершины степени 2 не могут находиться в одной компоненте связности. Поэтому количество компонент связности в графе не может быть больше, чем количество вершин степени 2 (\(n_2\)).

Также заметим, что каждая вершина степени 5 может быть смежной максимум с другими 5 вершинами. То есть, компонент связности, содержащая вершину степени 5, может иметь максимум 6 вершин. Поэтому количество компонент связности в графе не может быть больше, чем количество вершин степени 5 (\(n_5\)).

Теперь, чтобы получить максимальное количество компонент связности, нам нужно найти максимальные значения для \(n_2\) и \(n_5\).

Максимальное значение \(n_5\) можно получить, если все вершины степени 5 находятся в отдельных компонентах связности. Таким образом, максимальное значение \(n_5\) равно количеству вершин степени 5 в графе. В нашем случае, это количество будет равняться 18, так как у нас есть 18 вершин.

Максимальное значение \(n_2\) можно получить, если все оставшиеся (18 - \(n_5\)) вершин имеют степень 2 и находятся в отдельных компонентах связности. Очевидно, что это значение будет равно \(n_2 = 18 - n_5\).

Итак, в нашем графе с 18 вершинами, где степень каждой вершины равна 2 или 5, и присутствуют вершины обеих степеней, максимальное количество компонент связности равно максимальному значению \(n_2\) или \(n_5\).

С учетом наших вычислений, максимальное количество компонент связности в этом графе будет равно \(\max(n_2, n_5)\), где \(n_2 = 18 - n_5\).

Конкретное значение для количества компонент связности на практике можно получить, подставив различные значения для \(n_5\) и вычислив \(n_2\). Таким образом, количество компонент связности может быть любым значением от 1 до 18, в зависимости от распределения вершин в графе.