Какое количество теплоты было передано газу и как изменяется его внутренняя энергия, если при постоянном давлении объем

Iskryaschayasya_Feya

39

Для решения данной задачи, начнем с вычисления переданной газу теплоты. Для этого, мы можем воспользоваться первым началом термодинамики, которое гласит, что изменение внутренней энергии газа равно сумме теплоты, переданной газу, и работы, совершенной над газом:

\[\Delta U = Q + W\]

В условии задачи сказано, что давление газа остается постоянным, поэтому работа, совершенная над газом, равна нулю:

\[W = 0\]

Следовательно, уравнение можно упростить до:

\[\Delta U = Q\]

Теперь обратимся к закону Гей-Люссака, который утверждает, что при постоянном давлении идеального газа, отношение изменения объема газа к его исходному объему равно отношению изменения температуры газа к его исходной температуре:

\[\frac{{\Delta V}}{{V}} = \frac{{\Delta T}}{{T}}\]

В данной задаче сказано, что объем газа сократился в 1,50 раза, поэтому отношение изменения объема равно -0,50 (знак минус указывает на сокращение объема):

\[\frac{{\Delta V}}{{V}} = -0,50\]

Также, в условии задачи не указаны значения начального и конечного объемов газа, поэтому обозначим начальный объем как V, а конечный объем как \(V"\).

Теперь мы можем записать уравнение закона Гей-Люссака следующим образом:

\[-0,50 = \frac{{\Delta T}}{{T}}\]

Для решения этого уравнения, нам также понадобится уравнение состояния идеального газа, которое может быть записано следующим образом:

\[PV = nRT\]

где P - давление газа, V - объем газа, n - количество вещества газа, R - универсальная газовая постоянная, T - температура газа.

Молярная масса кислорода составляет 32 г/моль, что означает, что каждая моль кислорода имеет массу 32 г.

Используя данную информацию, мы можем выразить количество вещества газа n в зависимости от его массы m:

\[n = \frac{{m}}{{M}}\]

где m - масса газа, M - молярная масса газа.

В данной задаче, газом является кислород, поэтому получим:

\[n = \frac{{m}}{{32}}\]

Теперь мы можем переписать уравнение состояния идеального газа следующим образом:

\[PV = \left(\frac{{m}}{{32}}\right)RT\]

Используя уравнение состояния, мы можем выразить начальную температуру T и конечную температуру \(T"\) в зависимости от начального объема V и конечного объема \(V"\):

\[T = \frac{{PV}}{{\left(\frac{{m}}{{32}}\right)R}}\]

\[T" = \frac{{P"V"}}{{\left(\frac{{m}}{{32}}\right)R}}\]

Теперь мы можем вернуться к уравнению закона Гей-Люссака:

\[-0,50 = \frac{{\Delta T}}{{T}}\]

Используя выражения для T и \(T"\), мы можем переписать это уравнение следующим образом:

\[-0,50 = \frac{{T" - T}}{{T}}\]

Далее, мы можем упростить это уравнение, подставив значения для T и \(T"\):

\[-0,50 = \frac{{\frac{{P"V"}}{{\left(\frac{{m}}{{32}}\right)R}} - \frac{{PV}}{{\left(\frac{{m}}{{32}}\right)R}}}}{{\frac{{PV}}{{\left(\frac{{m}}{{32}}\right)R}}}}\]

\[-0,50 = \frac{{P"V" - PV}}{{PV}}\]

Перенесем PV в левую часть уравнения и выразим \(\Delta U\) и Q через известные величины:

\[\Delta U = Q = -0,50 \cdot PV\]

Теперь мы можем рассчитать изменение внутренней энергии и количество теплоты, переданной газу. Для этого нам понадобятся значения для давления газа, начального объема и массы газа.

Дано:
- Молярная масса кислорода: \(M = 32 \, \text{г/моль}\)
- Сокращение объема газа: \(\frac{{\Delta V}}{{V}} = -0,50\)
- Адиабатический показатель для кислорода: \(\gamma = 1,40\)

Мы также можем использовать идеальный газовый закон, чтобы связать давление, объем и количество вещества газа:

\[PV = nRT\]

где P - давление газа, V - объем газа, n - количество вещества газа, R - универсальная газовая постоянная, T - температура газа.

1. Рассчитаем начальный объем газа.
Используем идеальный газовый закон для связи давления, объема и количества вещества газа:
\[PV = nRT\]

Для начального объема мы будем использовать массу газа, так как другие значения пока не известны. Переведем массу газа в количество вещества, используя молярную массу кислорода:
\[n = \frac{{m}}{{M}} = \frac{{32 \, \text{г}}}{M}\]

Теперь мы можем выразить начальный объем V:
\[PV = \left(\frac{{m}}{{M}}\right)RT\]
\[V = \frac{{mRT}}{{PM}}\]

2. Рассчитаем конечный объем газа.
Так как сокращение объема составляет 1,50 раза, то конечный объем газа будет равен:
\[V" = \frac{{V}}{{1,50}}\]

3. Рассчитаем конечную температуру газа.
Используем идеальный газовый закон для связи давления, объема и количества вещества газа:
\[PV" = \left(\frac{{m}}{{M}}\right)RT"\]

Мы можем решить это уравнение относительно \(T"\):
\[T" = \frac{{PV"}}{{\left(\frac{{m}}{{M}}\right)R}}\]

4. Рассчитаем среднеквадратичную скорость молекул газа.
Среднеквадратичная скорость молекул газа связана с температурой через следующую формулу:

\[V_{\text{ср}} = \sqrt{\frac{{3kT"}}{{m}}}\]

где \(V_{\text{ср}}\) - среднеквадратичная скорость молекул газа, k - постоянная Больцмана, T" - температура газа, m - масса молекулы газа.

Теперь, используя все эти значения, мы можем рассчитать количество теплоты, переданной газу, и изменение его внутренней энергии.

Надеюсь, это подробное объяснение помогло вам понять, как решить задачу. Если у вас возникнут какие-либо вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.