Какое количество теплоты подводится к газу на участках цикла, где температура газа возрастает? Температура газа

Цыпленок

53

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо использовать первый закон термодинамики, который утверждает, что изменение внутренней энергии газа равно сумме подводимой к газу теплоты и совершаемой над газом работы.

В нашем случае цикл состоит из трех участков, и мы хотим найти количество подводимой теплоты на участках, где температура газа возрастает. Обозначим участки цикла как 1-2-3-1. Теплота подводится к газу на участках, где происходит возрастание температуры, то есть на участке 1-2 и на участке 3-1.

Для участка 1-2 применим формулу для подводимой теплоты \(Q_{12} = \Delta U_{12} - W_{12}\), где \(\Delta U_{12}\) - изменение внутренней энергии газа, \(W_{12}\) - совершаемая над газом работа. Так как у нас нет информации о работе, то \(W_{12} = 0\).

Известно, что изменение внутренней энергии газа \(\Delta U_{12} = Q_{12}\), так как работа равна нулю. Поэтому количество подводимой теплоты на участке 1-2 равно \(\Delta U_{12}\).

Для участка 3-1 применим такой же подход. Так как возрастает только температура газа, то на данном участке теплота также подводится к газу.

Теперь нам нужно определить изменение внутренней энергии газа на участке 1-2. Мы можем использовать уравнение состояния идеального газа: \(PV = nRT\), где \(P\) - давление газа, \(V\) - его объем, \(n\) - количество вещества газа, \(R\) - универсальная газовая постоянная, \(T\) - температура газа.

Обозначим начальное состояние газа 1, а конечное - состояние 2. Условие задачи говорит нам, что температура газа в состояниях 1 и 2 составляет 300 К. Таким образом, можно сказать, что \(T_1 = T_2 = 300 \, \text{K}\).

Мы также знаем, что отношение объемов в состояниях 3 и 2 равно 5/2. Предположим, что объем газа в состоянии 2 равен \(V_2\). Тогда объем газа в состоянии 3 равен \(\frac{5}{2}V_2\).

Используя уравнение состояния идеального газа, мы можем записать следующее соотношение для начального и конечного состояний:

\[P_1V_1 = nRT_1 \quad \text{и} \quad P_2V_2 = nRT_2\]
\[P_3V_3 = nRT_3 \quad \text{и} \quad P_2V_2 = nRT_2\]

Так как у нас нет информации о количестве вещества газа, то можем сделать вывод, что \(n\), \(R\) и \(T\) являются постоянными величинами в данной задаче. Если мы соединим уравнения, связанные с состояниями 1 и 2, а также состояниями 2 и 3, то сможем устранить переменные \(n\) и \(R\):

\[\frac{P_1V_1}{T_1} = \frac{P_2V_2}{T_2} \quad \text{и} \quad \frac{P_2V_2}{T_2} = \frac{P_3V_3}{T_3}\]

Так как \(T_1 = T_2 = T_3\), мы можем записать:

\[\frac{P_1V_1}{T_1} = \frac{P_2V_2}{T_2} \quad \text{и} \quad \frac{P_2V_2}{T_2} = \frac{P_3V_3}{T_2}\]

Теперь давайте подставим значения, которые нам даны в условии, чтобы решить уравнения:

\[\frac{P_1V_1}{300} = \frac{P_2V_2}{300} \quad \text{и} \quad \frac{P_2V_2}{300} = \frac{P_3 \cdot \frac{5}{2}V_2}{300}\]

Упростим уравнения:

\[P_1V_1 = P_2V_2 \quad \text{и} \quad P_2V_2 = \frac{5}{2}P_3V_2\]

Теперь мы можем найти отношение \(P_3\) к \(P_1\):

\[\frac{5}{2}P_3 = P_1 \quad \Rightarrow \quad P_3 = \frac{2}{5}P_1\]

Теперь мы можем использовать это отношение, чтобы найти отношение объемов \(V_3\) к \(V_1\):

\[\frac{V_3}{V_2} = \frac{5}{2} \quad \Rightarrow \quad \frac{V_3}{V_1} = \frac{V_2 \cdot \frac{5}{2}}{V_1} = \frac{5}{2}\]

Теперь, когда мы знаем отношение объемов в состояниях 3 и 1, мы можем выразить \(V_3\) через \(V_1\):

\[V_3 = \frac{5}{2}V_1\]

Теперь мы можем вернуться к вопросу о подводимой теплоте. У нас есть информация о изменении внутренней энергии газа на участке 1-2 и на участке 3-1. На участке 1-2 изменение внутренней энергии равно подводимой теплоте \(Q_{12}\). Аналогично, на участке 3-1 изменение внутренней энергии равно подводимой теплоте \(Q_{31}\). Мы можем записать:

\[\Delta U_{12} = Q_{12} \quad \text{и} \quad \Delta U_{31} = Q_{31}\]

Теперь нам нужно определить значения изменения внутренней энергии на каждом участке цикла. Изменение внутренней энергии газа на участке 1-2 можно найти, используя идеальный газовый закон:

\[\Delta U_{12} = nC_v(T_2 - T_1)\]

где \(C_v\) - молярная удельная теплоемкость газа при постоянном объеме.

Аналогично, изменение внутренней энергии газа на участке 3-1 равно:

\[\Delta U_{31} = nC_v(T_1 - T_3)\]

Теперь мы можем подставить известные значения и решить уравнения:

\[\Delta U_{12} = nC_v(T_2 - T_1) = nC_v(300 - 300) = 0\]

\[\Delta U_{31} = nC_v(T_1 - T_3) = nC_v(300 - 300) = 0\]

Таким образом, на участках 1-2 и 3-1 изменение внутренней энергии газа равно нулю. Следовательно, количество подводимой теплоты на этих участках также равно нулю.

Ответ: Количество теплоты, подводимой к газу на участках цикла, где температура газа возрастает, равно нулю.