Какое максимальное целое число может быть корнем уравнения 𝑎^2𝑥^2+𝑎𝑥+1−7𝑎^2=0, если оба корня являются целыми числами

Зарина

22

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

У нас есть квадратное уравнение вида \(ax^2 + ax + 1 - 7a^2 = 0\). Нам известно, что оба корня уравнения являются целыми числами.

Для начала, давайте разложим левую часть уравнения. Поскольку нам нужно найти максимальное целое число, предположим, что корни уравнения - это \(m\) и \(-m\), где \(m\) - это некоторое целое число.

Подставим значения корней в уравнение:

\[
a^2(m)^2 + a(m) + 1 - 7a^2 = 0
\]

Теперь объединим подобные члены:

\[
a^2(m^2) + am + 1 - 7a^2 = 0
\]

Заметим, что \(am\) и \(-am\) являются подобными и удовлетворяют уравнению. Следовательно, мы можем сказать, что \(am + (-am) = 0\). Подставим это в уравнение:

\[
a^2(m^2) + 1 - 7a^2 = 0
\]

Теперь выразим \(a\) через \(m\) и упростим уравнение:

\[
m^2a^2 - 7a^2 = -1
\]
\[
(m^2 - 7)a^2 = -1
\]

Заметим, что коэффициент при \(a^2\) - это полный квадрат \(m^2 - 7\). Чтобы коэффициент был полным квадратом, необходимо, чтобы -1 тоже был полным квадратом. Однако, -1 не является полным квадратом, так как нет целого числа, которое возводя в квадрат давало бы -1.

Таким образом, решение такого уравнения невозможно.

Вывод: В заданном уравнении не существует целых корней, удовлетворяющих условиям задачи.