Какое максимальное количество прямых можно нарисовать на плоскости так, чтобы среди любых 14 из них были

Tanec

7

Чтобы ответить на этот вопрос, давайте взглянем на возможные ситуации. Предположим, у нас есть некоторое количество прямых на плоскости, а мы хотим нарисовать еще одну прямую, так чтобы она образовывала прямой угол с каждой из существующих прямых.

Пусть у нас уже есть \(n\) прямых. Чтобы новая прямая образовывала прямой угол с каждой из них, она должна пересекать каждую из этих прямых. Предположим, что она пересекает первые \(k\) прямых. Каждое пересечение добавляет \(k\) новых точек пересечения (по одной на каждую из первых \(k\) прямых) и еще одно пересечение с новой прямой. Таким образом, общее количество точек пересечения будет равно \(k + 1\).

Количество новых точек пересечения, которые добавит новая прямая, определяется только теми прямыми, которые она пересекает. Это означает, что каждая новая прямая добавляет только одну новую точку пересечения с каждой из прямых, c которой она пересекает.

Теперь перейдем к доказательству. Предположим, что мы можем нарисовать \(m\) прямых, так чтобы любые 14 из них образовывали прямой угол. Рассмотрим прямую \(l\), которая пересекает первые \(m\) прямых. Она добавляет \(m+1\) новых точек пересечения.

Эти \(m+1\) точек пересечения — это точки пересечения прямой \(l\) с каждой из первых \(m\) прямых. Каждая из этих точек пересечения должна быть пересечением между прямой \(l\) и новой прямой, чтобы новая прямая образовывала прямой угол с каждой из прямых. Таким образом, каждая из \(m+1\) точек пересечения служит началом новой прямой. Отсюда следует, что новое максимальное количество прямых можно получить, если каждая из \(m+1\) точек пересечения станет началом новой прямой.

После добавления этих новых прямых к нашей системе есть \(m+1\) прямая. Обратите внимание, что каждая из этих \(m+1\) прямых образует прямой угол с каждой из первых \(m\) прямых. Если мы повторим процесс, добавив еще одну прямую, мы получим еще \(m+2\) прямых, которые также будут удовлетворять условию задачи.

Мы продолжим добавлять прямые и получим последовательность:

Ситуация 1: \(m\) прямых
Ситуация 2: \(m+1\) прямых
Ситуация 3: \(m+2\) прямых

Таким образом, мы можем непрерывно увеличивать количество прямых до бесконечности. Следовательно, не существует максимального количества прямых, удовлетворяющих условию задачи.

Ответ: Не существует максимального количества прямых, чтобы среди любых 14 из них образовывались две, образующие прямой угол.