Какое максимальное количество студентов взяло по крайней мере по одной книге каждого из трех видов (физика, химия

Поющий_Хомяк

8

Для решения этой задачи мы можем использовать принцип включений-исключений. Давайте рассмотрим каждый вид книги отдельно.

Пусть \(A\), \(B\) и \(C\) обозначают множества студентов, которые взяли книги по физике, химии и математике соответственно. Мы хотим найти максимальное количество студентов, которые взяли по крайней мере по одной книге каждого вида.

Мы можем применить принцип включений-исключений следующим образом:

\[
|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|
\]

Мы знаем, что \(|A \cap B| = |A \cap C| = |B \cap C| = 0\). Поэтому формула упростится до:

\[
|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B \cap C|
\]

Теперь давайте рассмотрим каждое множество отдельно:

Пусть \(|A|\) обозначает количество студентов, взявших книги по физике, \(|B|\) - по химии, \(|C|\) - по математике.

У нас есть следующая информация:

\(A = B = C\), так как каждый студент взял по одной книге каждого вида.

Теперь мы можем сформулировать следующее:

\(|A| = |B| = |C| = x\), где \(x\) - это количество студентов, взявших каждую книгу. Мы хотим найти максимальное значение \(x\).

Тогда:

\[
|A \cup B \cup C| = x + x + x - |A \cap B \cap C|
\]

Теперь рассмотрим \(|A \cap B \cap C|\). Из условия задачи мы знаем, что студенты взяли только по одной книге каждого вида. Значит, \(|A \cap B \cap C| = 0\). Подставим это обратно в формулу:

\[
|A \cup B \cup C| = 3x
\]

Теперь полученное выражение представляет максимальное количество студентов, которые взяли по крайней мере по одной книге каждого вида.

Таким образом, максимальное количество студентов равно \(3x\).