Какое максимальное расстояние можно достичь при использовании протокола BB84 для квантового распределения ключа

Совунья

45

Для решения данной задачи, давайте разобьем ее на несколько шагов.

Шаг 1: Определим число фотонов, которые поступят на детекторы.
Для этого мы будем использовать формулу передачи световой мощности бета (P):
$$P=P_0\times {10}^{\frac{-L}{10}}$$
где P - сила сигнала после пройденного расстояния (количество фотонов), $P_0$ - начальная сила сигнала (количество фотонов), L - расстояние (в километрах).

Определим начальную силу сигнала по формуле:
$$P_0=\frac{P}{{10}^{\frac{-L}{10}}}$$
где P - количество фотонов в импульсе.

Шаг 2: Определим число фотонов, которые успевают пройти через детекторы.
Для этого умножим начальную силу сигнала на эффективность детекторов (Е):
$$P_d=P_0\times E$$
где P_d - количество фотонов, прошедших через детекторы, E - эффективность детекторов.

Шаг 3: Определим количество битов информации, которое генерируется в секунду.
Для этого умножим количество фотонов на частоту генерации ключа (f):
$$B=P_d\times f$$
где B - количество битов информации, P_d - количество фотонов, прошедших через детекторы, f - скорость генерации ключа.

Шаг 4: Определим максимальное расстояние, при котором будет генерироваться ключ с заданной скоростью.
Для этого мы будем использовать формулу потерь в канале (L_loss):
$$L_{\text{loss}}=\frac{10\times {\log }_{10}(\frac{P_d}{P_t})}{10}\times d$$
где $L_{\text{loss}}$ - потери в канале, $P_d$ - количество фотонов, прошедших через детекторы, $P_t$ - количество фотонов, необходимое для работы протокола, $d$ - расстояние (в километрах).

Из этой формулы мы можем найти максимальное расстояние:
$$d_{\text{max}}=\frac{L_{\text{loss}}}{L_{\text{channel}}}$$
где $d_{\text{max}}$ - максимальное расстояние для достижения заданной скорости генерации ключа, $L_{\text{loss}}$ - потери в канале, $L_{\text{channel}}$ - потери в канале (в децибелах на километр).
Обратите внимание, что $L_{\text{channel}}$ равно 0.3 дБ/км.

Шаг 5: Подставим значения в формулы и рассчитаем результат.

Начальная сила сигнала:
$$P_0=\frac{0.1}{{10}^{\frac{-0.3}{10}}}\approx 0.0708\text{ фотонов}$$

Количество фотонов, пройденных через детекторы:
$$P_d=0.0708\times 0.1=0.00708\text{ фотонов}$$

Количество битов информации, генерируемых в секунду:
$$B=0.00708\times 5\times {10}^3=35.4\text{ бит/с}$$

Максимальное расстояние:
$$L_{\text{loss}}=\frac{10\times {\log }_{10}(\frac{0.00708}{P_t})}{10}\times d=0.3d$$

$0.3d=\frac{10\times {\log }_{10}(\frac{0.00708}{P_t})}{10}\times d$
$0.03={\log }_{10}(\frac{0.00708}{P_t})$
${10}^{0.03}=\frac{0.00708}{P_t}$
$Pt=\frac{0.00708}{{10}^{0.03}}\approx 0.00226$

$L_{\text{loss}}=0.3d$
$0.3d=\frac{10\times {\log }_{10}(\frac{0.00708}{0.00226})}{10}\times d$
$0.3={\log }_{10}(\frac{1}{0.3198})$
${10}^{0.3}=\frac{1}{0.3198}$
$d=\frac{1}{{10}^{0.3}\times 0.3198}\approx 0.104\text{ километра}$

Таким образом, максимальное расстояние для достижения заданной скорости генерации ключа при использовании протокола BB84 составляет приблизительно 0.104 километра.