Какое максимальное расстояние можно достичь при использовании протокола BB84 для квантового распределения ключа

Совунья

45

Для решения данной задачи, давайте разобьем ее на несколько шагов.

Шаг 1: Определим число фотонов, которые поступят на детекторы.
Для этого мы будем использовать формулу передачи световой мощности бета (P):
\[ P = P_0 \times 10^{\frac{-L}{10}} \]
где P - сила сигнала после пройденного расстояния (количество фотонов), \(P_0\) - начальная сила сигнала (количество фотонов), L - расстояние (в километрах).

Определим начальную силу сигнала по формуле:
\[ P_0 = \frac{P}{10^{\frac{-L}{10}}} \]
где P - количество фотонов в импульсе.

Шаг 2: Определим число фотонов, которые успевают пройти через детекторы.
Для этого умножим начальную силу сигнала на эффективность детекторов (Е):
\[ P_d = P_0 \times E \]
где P_d - количество фотонов, прошедших через детекторы, E - эффективность детекторов.

Шаг 3: Определим количество битов информации, которое генерируется в секунду.
Для этого умножим количество фотонов на частоту генерации ключа (f):
\[ B = P_d \times f \]
где B - количество битов информации, P_d - количество фотонов, прошедших через детекторы, f - скорость генерации ключа.

Шаг 4: Определим максимальное расстояние, при котором будет генерироваться ключ с заданной скоростью.
Для этого мы будем использовать формулу потерь в канале (L_loss):
\[ L_{\text{loss}} = \frac{10 \times \log_{10} (\frac{P_d}{P_t})}{10} \times d \]
где \( L_{\text{loss}} \) - потери в канале, \( P_d \) - количество фотонов, прошедших через детекторы, \( P_t \) - количество фотонов, необходимое для работы протокола, \( d \) - расстояние (в километрах).

Из этой формулы мы можем найти максимальное расстояние:
\[ d_{\text{max}} = \frac{L_{\text{loss}}}{L_{\text{channel}}} \]
где \( d_{\text{max}} \) - максимальное расстояние для достижения заданной скорости генерации ключа, \( L_{\text{loss}} \) - потери в канале, \( L_{\text{channel}} \) - потери в канале (в децибелах на километр).
Обратите внимание, что \( L_{\text{channel}} \) равно 0.3 дБ/км.

Шаг 5: Подставим значения в формулы и рассчитаем результат.

Начальная сила сигнала:
\[ P_0 = \frac{0.1}{10^{\frac{-0.3}{10}}} \approx 0.0708 \text{ фотонов} \]

Количество фотонов, пройденных через детекторы:
\[ P_d = 0.0708 \times 0.1 = 0.00708 \text{ фотонов} \]

Количество битов информации, генерируемых в секунду:
\[ B = 0.00708 \times 5 \times 10^3 = 35.4 \text{ бит/с} \]

Максимальное расстояние:
\[ L_{\text{loss}} = \frac{10 \times \log_{10} (\frac{0.00708}{P_t})}{10} \times d = 0.3d \]

\( 0.3d = \frac{10 \times \log_{10} (\frac{0.00708}{P_t})}{10} \times d \)
\( 0.03 = \log_{10} (\frac{0.00708}{P_t}) \)
\( 10^{0.03} = \frac{0.00708}{P_t} \)
\( Pt = \frac{0.00708}{10^{0.03}} \approx 0.00226 \)

\( L_{\text{loss}} = 0.3d \)
\( 0.3d = \frac{10 \times \log_{10} (\frac{0.00708}{0.00226})}{10} \times d \)
\( 0.3 = \log_{10} (\frac{1}{0.3198}) \)
\( 10^{0.3} = \frac{1}{0.3198} \)
\( d = \frac{1}{10^{0.3} \times 0.3198} \approx 0.104 \text{ километра} \)

Таким образом, максимальное расстояние для достижения заданной скорости генерации ключа при использовании протокола BB84 составляет приблизительно 0.104 километра.