Какое максимальное ускорение можно придать поднимающемуся сосуду, в котором налит 7,5 см ртути, чтобы пробка не выпала?

Evgeniy

31

Чтобы найти максимальное ускорение, которое можно придать поднимающемуся сосуду с ртутью, чтобы пробка не выпала, мы можем использовать закон Архимеда и уравнение равновесия.

Закон Архимеда гласит, что на тело, погруженное в жидкость, действует поднимающая сила, равная весу вытесненной жидкости. Эта сила направлена вверх и равна \( F_{\text{арх}} = \rho \cdot g \cdot V \), где \( \rho \) - плотность жидкости (в данном случае ртути), \( g \) - ускорение свободного падения и \( V \) - объем вытесненной жидкости.

Теперь рассмотрим уравнение равновесия для пробки, находящейся в висячем состоянии. Вертикальная составляющая силы тяжести пробки должна быть равна вертикальной составляющей поднимающей силы Архимеда. То есть, \( F_{\text{тяж}} = F_{\text{арх}} \).

Тогда можем записать, что \( m \cdot g = \rho \cdot g \cdot V \), где \( m \) - масса пробки.

Выражая массу пробки через объем ртути и плотность ртути \( m = \rho_{\text{рт}} \cdot V_{\text{рт}} \), получаем
\[ \rho_{\text{рт}} \cdot g \cdot V_{\text{рт}} = \rho \cdot g \cdot V. \]

Очевидно, объем ртути равен объему сосуда, в данном случае \( V_{\text{рт}} = 7{,}5 \) см³. Также, плотность ртути известна и составляет \( \rho_{\text{рт}} = 13{,}6 \) г/см³.

Подставляем известные значения и решаем уравнение:
\[ 13{,}6 \cdot g \cdot 7{,}5 = \rho \cdot g \cdot V. \]

Здесь \( g \) сократится и получим
\[ 13{,}6 \cdot 7{,}5 = \rho \cdot V. \]

Теперь, для нахождения максимального ускорения (\( a \)) мы можем использовать второй закон Ньютона \( F = m \cdot a \), где сила (\( F \)) равна весу пробки (\( m \cdot g \)).
\[ m \cdot g = m \cdot a. \]

Массу пробки (\( m \)) мы уже выразили через плотность ртути и объем вытесненной жидкости:
\[ \rho_{\text{рт}} \cdot V_{\text{рт}} \cdot g = (\rho \cdot V) \cdot a. \]

Снова, объем ртути равен объему сосуда, поэтому \( V_{\text{рт}} = V \), и можем записать:
\[ \rho_{\text{рт}} \cdot g = \rho \cdot a. \]

Теперь находим ускорение:
\[ a = \frac{{\rho_{\text{рт}} \cdot g}}{{\rho}}. \]

Подставляем известные значения: \( \rho_{\text{рт}} = 13{,}6 \) г/см³, \( g = 9{,}8 \) м/с² и плотность ртути \( \rho = 13{,}6 \) г/см³:
\[ a = \frac{{13{,}6 \cdot 9{,}8}}{{13{,}6}}. \]

Выполняя вычисления, получаем:
\[ a \approx 9{,}8 \, \text{м/с²}. \]

Итак, максимальное ускорение, которое можно придать поднимающемуся сосуду с ртутью, чтобы пробка не выпала, составляет приблизительно 9,8 м/с².