Какое максимальное значение может принимать выражение х+у, если условие х^2+у^2

Morskoy_Cvetok

57

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом.

У нас дано условие \(x^2 + y^2 = 36\), и нам нужно найти максимальное значение выражения \(x + y\).

1. Для начала, давайте рассмотрим геометрическую интерпретацию данного условия. Уравнение \(x^2 + y^2 = 36\) является уравнением окружности радиусом 6 с центром в начале координат (0,0).

2. Если мы визуализируем эту окружность на координатной плоскости, мы увидим, что максимальное значение выражения \(x + y\) соответствует точке на окружности, которая находится наиболее далеко от оси x (ось абсцисс).

3. Поскольку окружность симметрична относительно начала координат, максимальное значение будет достигаться в точке, где \(x = y\).

Подставим \(x = y\) в уравнение окружности: \(x^2 + x^2 = 36\).

Получаем уравнение: \(2x^2 = 36\).

4. Решим это уравнение для определения значения x.

Разделим оба значения на 2: \(x^2 = 18\).

Извлечем квадратный корень из обоих частей уравнения: \(x = \pm \sqrt{18}\).

5. Поскольку нам нужно найти максимальное значение, возьмем положительный корень: \(x = \sqrt{18}\).

Итак, x равно \(\sqrt{18}\), и y также равно \(\sqrt{18}\).

6. Подставим значения x и y в выражение \(x + y\): \(\sqrt{18} + \sqrt{18}\).

7. Сокращаем корни и складываем: \(\sqrt{18} + \sqrt{18} = 2\sqrt{18}\).

Упрощаем под корнем: \(2\sqrt{9 \cdot 2}\).

8. Делаем факторизацию квадратного корня: \(2\sqrt{9} \cdot \sqrt{2}\).

Упрощаем: \(2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2}\).

9. Получаем окончательный ответ: \(6\sqrt{2}\).

Таким образом, максимальное значение выражения \(x + y\) при условии \(x^2 + y^2 = 36\) равно \(6\sqrt{2}\).

Надеюсь, это решение понятно и помогло вам! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их. Я всегда готов помочь.