Какое максимальное значение у функции y=5sinx-6x+3 на интервале (0; пи/2)?

Фонтан

52

Хорошо, я помогу вам с этой задачей. Первым шагом нам нужно найти критические точки функции, то есть точки, где производная равна нулю. Для этого возьмем производную функции \(y = 5\sin(x) - 6x + 3\):

\[y" = 5\cos(x) - 6\]

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:

\[5\cos(x) - 6 = 0\]

Добавим 6 к обоим сторонам и разделим на 5:

\[5\cos(x) = 6\]
\[\cos(x) = \frac{6}{5} \]

Значение косинуса равно \(\frac{6}{5}\) на интервале \((0; \frac{\pi}{2})\). Поскольку косинус является убывающей функцией на этом интервале, мы можем заключить, что уравнение \(\cos(x) = \frac{6}{5}\) имеет единственное решение на этом интервале.

Теперь найдем значение угла \(x\), соответствующее \(\cos(x) = \frac{6}{5}\). Для этого возьмем арккосинус от обеих сторон:

\[x = \arccos(\frac{6}{5})\]

Возьмем приближенное значение для удобства вычислений:

\[x \approx 0.924\]

Теперь нам нужно проверить значения функции в критических точках и на границах интервала \((0; \frac{\pi}{2})\). Найдем значение функции в этих точках:

\[y(0) = 5\sin(0) - 6(0) + 3 = 0 + 0 + 3 = 3\]

\[y(\frac{\pi}{2}) = 5\sin(\frac{\pi}{2}) - 6(\frac{\pi}{2}) + 3 = 5(1) - 3\pi + 3 \approx 5 - 4.712 + 3 \approx 3.288\]

Теперь найдем значение функции в точке \(x \approx 0.924\):

\[y(0.924) = 5\sin(0.924) - 6(0.924) + 3 \approx 5(0.793) - 5.544 + 3 \approx 3.965 - 5.544 + 3 \approx 1.421\]

Итак, мы получили следующие значения функции на интервале \((0; \frac{\pi}{2})\):
- \(y(0) = 3\)
- \(y(0.924) \approx 1.421\)
- \(y(\frac{\pi}{2}) \approx 3.288\)

Максимальное значение функции можно найти, сравнив эти значения. Из полученных значений мы видим, что максимальное значение достигается при \(x \approx 0.924\), где \(y \approx 1.421\).

Таким образом, максимальное значение функции \(y = 5\sin(x) - 6x + 3\) на интервале \((0; \frac{\pi}{2})\) составляет примерно 1.421.