Нужен детальный, конкретный ответ. У двух игроков есть по п рублей и предмет, стоимость которого больше нуля. Каждый
Нужен детальный, конкретный ответ. У двух игроков есть по п рублей и предмет, стоимость которого больше нуля. Каждый игрок делает предложение в запечатанном конверте, предлагая i рублей (где i - одно из целых чисел от 0 до п) за предмет. Игрок, предложивший большую сумму, получает предмет и платит другому игроку предложенную им сумму. Если оба игрока предлагают одинаковую сумму, то предмет передаётся одному игроку без дополнительного платежа через подкидывание монеты, так что каждый игрок имеет равные шансы получить предмет. Постройте матрицу платежей для этой игры и определите, является ли она
Kosmicheskaya_Sledopytka 49
данная игра справедливой или нет.Чтобы построить матрицу платежей для этой игры, мы будем использовать два параметра - сумму предложенную первым игроком (X) и сумму предложенную вторым игроком (Y).
Если первый игрок предлагает сумму X и второй игрок предлагает сумму Y, то результат будет следующим:
- Если X > Y, то предмет переходит к первому игроку, и второй игрок получает сумму Y.
- Если X < Y, то предмет переходит ко второму игроку, и первый игрок получает сумму X.
- Если X = Y, то предмет переходит к одному из игроков случайным образом без дополнительных платежей.
Теперь давайте построим матрицу платежей. Пусть i и j - целые числа от 0 до п.
\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{Первый игрок \ Второй игрок} & \text{X > Y} & \text{X < Y} & \text{X = Y} \\
\hline
\text{X > Y} & (i-j, j) & (j, i-j) & (i/2, i/2) \\
\hline
\text{X < Y} & (i-j, j) & (j, i-j) & (j/2, j/2) \\
\hline
\text{X = Y} & (i/2, i/2) & (j/2, j/2) & (i/2, i/2) \\
\hline
\end{array}
\]
Теперь оценим, является ли игра справедливой. Игра считается справедливой, если ожидаемый платеж (ожидаемое значение) каждого игрока равен 0.
Для первого игрока, ожидаемый платеж можно вычислить, умножая каждый платеж в матрице на вероятность его возникновения. Вероятность X > Y и X < Y равна 1/2 каждая, а вероятность X = Y - 1/п. Таким образом, ожидаемый платеж первого игрока будет:
\[
E_1 = \frac{1}{\п}(i-j) + \frac{1}{2}(j) + \frac{1}{\п}(i/2) + \frac{1}{2}(j/2) + \frac{1}{\п}(i/2) = \frac{(2i-j)}{\п}
\]
Аналогично, ожидаемый платеж второго игрока можно вычислить:
\[
E_2 = \frac{1}{\п}(j) + \frac{1}{2}(i-j) + \frac{1}{\п}(j/2) + \frac{1}{2}(j/2) + \frac{1}{\п}(j/2) = \frac{(2j-i)}{\п}
\]
Таким образом, ожидаемый платеж каждого игрока зависит от выбранных им сумм предложений, и игра не является справедливой, так как ожидаемые платежи не равны 0.
В зависимости от конкретных значений целых чисел i и j, один игрок может иметь преимущество перед другим в этой игре. Это означает, что игра несправедлива и необязательно выигрыш гарантирован для каждого игрока.