Какое минимальное количество клеток в клетчатом квадрате размером 5х5 можно превратить в вектора так, чтобы сумма всех

Собака

58

Чтобы ответить на этот вопрос, давайте рассмотрим задачу пошагово.

1. Первый шаг заключается в понимании того, что представляют собой вектора в данном контексте. Вектор - это направленный отрезок, который имеет величину (длину) и направление. В данной задаче, чтобы превратить клетки векторами, мы будем использовать только горизонтальные и вертикальные направления.

2. Клетка в клетчатом квадрате может быть превращена в вектор, если мы покажем, в каком направлении и на сколько клеток нужно двигаться. Например, если клетка будет превращена в вектор, указывающий движение вправо на 3 клетки, мы отмечаем эту клетку со знаком "+3" или просто числом 3.

3. Чтобы сумма всех векторов равнялась нулю, необходимо учесть, что при перемещении в одном направлении на какое-то количество клеток, нужно вернуться обратно на то же самое количество клеток в обратном направлении. Например, если у нас есть вектор "+3", то нам нужно добавить вектор "-3", чтобы сумма была равна нулю.

4. Теперь рассмотрим случай с клетчатым квадратом размером 5x5. В этом квадрате у нас есть 25 клеток. Но можно заметить, что в каждом ряду и каждом столбце есть одинаковое количество клеток. Поэтому мы можем превратить половину клеток векторами и оставить другую половину для обратных векторов.

5. Чтобы определить минимальное количество клеток, которые можно превратить в вектора так, чтобы их сумма равнялась нулю, нужно пронумеровать клетки для удобства. Представим квадрат клетчатой сеткой:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
\hline
6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\
\hline
11 & 12 & 13 & 14 & 15 \\
\hline
16 & 17 & 18 & 19 & 20 \\
\hline
21 & 22 & 23 & 24 & 25 \\
\hline
\end{array}
\]

6. Мы можем заметить, что на первом ряду нет необходимости создавать вектора, так как они будут иметь противоположные векторы на последнем ряду. То же самое можно сказать и о первом столбце. Поэтому мы можем пренебречь первым рядом и первым столбцом.

7. Теперь мы можем начать превращать клетки векторами. Для простоты, давайте рассмотрим только одну часть квадрата размером 4x4:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
6 & 7 & 8 & 9 \\
\hline
11 & 12 & 13 & 14 \\
\hline
16 & 17 & 18 & 19 \\
\hline
21 & 22 & 23 & 24 \\
\hline
\end{array}
\]

8. Мы можем выбрать любую клетку и превратить ее вектором, указывающим движение вправо или вниз на 1 клетку. Например, мы можем выбрать клетку 6 и превратить ее вектором "+1". Затем выбираем другую клетку, например, 7, и превращаем ее вектором "+1". Продолжаем делать это для всех клеток, пока не достигнем последней клетки.

9. После того, как мы использовали все клетки векторами, остается превратить оставшиеся клетки векторами, указывающими движение влево или вверх на 1 клетку. Например, клетку 14 мы можем превратить вектором "-1", клетку 19 - в вектор "-1" и так далее.

10. Если мы просуммируем все векторы, которые мы использовали, то увидим, что сумма знаков "+1" и "-1" будет равняться нулю. Таким образом, мы можем превратить 12 клеток векторами, а оставшиеся 13 клеток оставить для обратных векторов, чтобы сумма равнялась нулю.

Вывод: Минимальное количество клеток в клетчатом квадрате размером 5x5, которое можно превратить в вектора так, чтобы сумма всех этих векторов равнялась нулю, составляет 12 клеток.