Какое минимальное значение достигает функция f(x)=2x^3-6x+1 на интервале

Мила

55

Для определения минимального значения функции, необходимо найти точку экстремума на заданном интервале.

Для начала, возьмем первую производную (f"(x)) от данной функции и приравняем ее к нулю, чтобы найти точку, где функция может достигать экстремума:

$$f"(x)=6x^2-6=0$$

Теперь решим это уравнение относительно x:

$$6x^2-6=0$$

Разделим это уравнение на 6:

$$x^2-1=0$$

Теперь добавим 1 к обеим сторонам уравнения:

$$x^2=1$$

Извлекаем квадратный корень от обеих сторон уравнения:

$$x=\pm \sqrt{1}$$

Таким образом, получаем две точки, в которых функция может достигать экстремума: x = 1 и x = -1.

Теперь, чтобы определить, какой из этих двух значений является минимумом, мы можем использовать вторую производную (f""(x)).

Вычислим вторую производную:

$$f""(x)=12x$$

Теперь подставим точки, которые мы нашли ранее, во вторую производную:

$$f""(1)=12(1)=12$$
$$f""(-1)=12(-1)=-12$$

Таким образом, мы видим, что при x = 1, вторая производная положительная (12), а при x = -1, вторая производная отрицательная (-12).

Это означает, что точка x = 1 является минимумом функции на заданном интервале.

Теперь, чтобы найти значение функции в этой точке, подставим x = 1 в исходную функцию:

$$f(1)=2(1{)}^3-6(1)+1=2-6+1=-3$$

Таким образом, минимальное значение функции $f(x)=2x^3-6x+1$ на заданном интервале равно -3 и достигается при $x=1$.