Какое минимальное значение достигает функция f(x)=2x^3-6x+1 на интервале

Мила

55

Для определения минимального значения функции, необходимо найти точку экстремума на заданном интервале.

Для начала, возьмем первую производную (f"(x)) от данной функции и приравняем ее к нулю, чтобы найти точку, где функция может достигать экстремума:

\[f"(x) = 6x^2 - 6 = 0\]

Теперь решим это уравнение относительно x:

\[6x^2 - 6 = 0\]

Разделим это уравнение на 6:

\[x^2 - 1 = 0\]

Теперь добавим 1 к обеим сторонам уравнения:

\[x^2 = 1\]

Извлекаем квадратный корень от обеих сторон уравнения:

\[x = \pm \sqrt{1}\]

Таким образом, получаем две точки, в которых функция может достигать экстремума: x = 1 и x = -1.

Теперь, чтобы определить, какой из этих двух значений является минимумом, мы можем использовать вторую производную (f""(x)).

Вычислим вторую производную:

\[f""(x) = 12x\]

Теперь подставим точки, которые мы нашли ранее, во вторую производную:

\[f""(1) = 12(1) = 12\]
\[f""(-1) = 12(-1) = -12\]

Таким образом, мы видим, что при x = 1, вторая производная положительная (12), а при x = -1, вторая производная отрицательная (-12).

Это означает, что точка x = 1 является минимумом функции на заданном интервале.

Теперь, чтобы найти значение функции в этой точке, подставим x = 1 в исходную функцию:

\[f(1) = 2(1)^3 - 6(1) + 1 = 2 - 6 + 1 = -3\]

Таким образом, минимальное значение функции \(f(x) = 2x^3 - 6x + 1\) на заданном интервале равно -3 и достигается при \(x = 1\).