Какие значения a можно подставить, чтобы доказать, что равенство a (2a + 3) = -a2 + 6 не является идентичностью?

Лазерный_Робот

45

Для доказательства, что данное равенство не является идентичностью, нужно найти хотя бы одно значение переменной \(a\), которое приводит к неравенству. Давайте выполним все необходимые шаги для получения такого значения.

Мы имеем следующее равенство:
\[a(2a + 3) = -a^2 + 6\]

Для начала упростим выражения с обеих сторон уравнения:
\[2a^2 + 3a = -a^2 + 6\]

Теперь приведем все члены уравнения в одну сторону и расположим их в порядке возрастания степеней переменной \(a\):
\[3a + a^2 + a^2 - 6 = 0\]
\[2a^2 + 3a - 6 = 0\]

Заметим, что данное уравнение является квадратным уравнением вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a = 2\), \(b = 3\) и \(c = -6\).

Применим квадратное уравнение для нахождения решений:
\[a = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}\]
\[a = \frac{{-3 \pm \sqrt{{3^2 - 4 \cdot 2 \cdot -6}}}}{{2 \cdot 2}}\]
\[a = \frac{{-3 \pm \sqrt{{9 + 48}}}}{4}\]
\[a = \frac{{-3 \pm \sqrt{{57}}}}{4}\]

Мы получили два возможных значения для \(a\), а именно:
\[a_1 = \frac{{-3 + \sqrt{{57}}}}{4}\]
\[a_2 = \frac{{-3 - \sqrt{{57}}}}{4}\]

Подставим каждое из этих значений в исходное уравнение:
Для \(a = \frac{{-3 + \sqrt{{57}}}}{4}\):
\(\frac{{-3 + \sqrt{{57}}}}{4}(2\left(\frac{{-3 + \sqrt{{57}}}}{4}\right) + 3) = -\left(\frac{{-3 + \sqrt{{57}}}}{4}\right)^2 + 6\)

После выполнения всех вычислений, мы убеждаемся, что данное равенство остается истинным.

Вот значит наше доказательство того, что нет значения переменной \(a\), которое приводит к неравенству. Следовательно, исходное уравнение \(a(2a + 3) = -a^2 + 6\) является идентичностью.