Какое минимальное значение может иметь произведение ненулевых параметров a и b, чтобы система уравнений { tg x

Оса_5087

13

Чтобы найти минимальное значение произведения ненулевых параметров \(a\) и \(b\), при котором система уравнений имеет решение, давайте проанализируем уравнения по отдельности.

Первое уравнение: \( \tan(x) + 300 \cdot \sin(x) = a\)
Второе уравнение: \( \cot(x) + 300 \cdot \cos(x) = b\)

Давайте приведем второе уравнение к форме, которую проще решить. Для этого перепишем его, используя тождество \( \cot(x) = \frac{1}{\tan(x)}\):

\(\frac{1}{\tan(x)} + 300 \cdot \cos(x) = b\)

Теперь объединим оба уравнения:

\( \tan(x) + 300 \cdot \sin(x) = a \)
\( \frac{1}{\tan(x)} + 300 \cdot \cos(x) = b\)

Заметим, что первое уравнение может быть умножено на \(\frac{1}{\tan(x)}\) в обоих частях, что позволит нам сократить дроби:

\( \frac{\tan(x)}{\tan(x)} + \frac{300 \cdot \sin(x)}{\tan(x)} = \frac{a}{\tan(x)} \)
\( \frac{1}{\tan(x)} + 300 \cdot \cos(x) = b\)

После сокращения дроби в первом уравнении получим:

\( 1 + 300 \cdot \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \frac{a}{\tan(x)} \)
\( \frac{1}{\tan(x)} + 300 \cdot \cos(x) = b\)

Теперь заменим \(\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\) на \(\tan(x)\) в первом уравнении, используя тригонометрическую тождество \(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\):

\( 1 + 300 \cdot \tan(x) = \frac{a}{\tan(x)} \)
\( \frac{1}{\tan(x)} + 300 \cdot \cos(x) = b\)

Умножим оба уравнения на \(\tan(x)\), чтобы избавиться от знаменателей:

\( \tan(x) + 300 \cdot \tan^2(x) = a \)
\( 1 + 300 \cdot \cos(x) \cdot \tan(x) = b\)

Давайте объединим оба уравнения:

\( \tan(x) + 300 \cdot \tan^2(x) = a \)
\( 1 + 300 \cdot \cos(x) \cdot \tan(x) = b\)

Теперь у нас есть система двух уравнений, в которой отсутствуют знаменатели. Мы можем использовать это для решения системы.

Мы видим, что \(a\) и \(b\) не встречаются друг в друге в одном уравнении. Таким образом, чтобы найти минимальное значение произведения \(a \cdot b\), мы должны рассмотреть крайние значения для каждого параметра и найти соответствующие значения второго параметра.

Из первого уравнения: \( \tan(x) + 300 \cdot \tan^2(x) = a \)
Минимальное значение \(\tan(x)\) будет 0, поскольку мы ищем минимальное значение произведения ненулевых параметров \(a\) и \(b\). При \(\tan(x) = 0\), первое уравнение превращается в:
\(0 + 300 \cdot 0 = a\)
\(a = 0\)

Теперь вставим это значение \(a = 0\) во второе уравнение: \( 1 + 300 \cdot \cos(x) \cdot \tan(x) = b\)
\( 1 + 300 \cdot \cos(x) \cdot 0 = b\)
\( 1 = b\)

Таким образом, минимальное значение произведения \(a \cdot b\) равно 0, при условии \(a = 0\) и \(b = 1\).

Итак, чтобы система имела решение, произведение \(a \cdot b\) должно быть неотрицательным числом, и минимальное такое значение равно 0 при \(a = 0\) и \(b = 1\).