Знайти довжину сторони AB трапеції ABCD, знаючи, що кут, утворений бічною стороною AB та основою, дорівнює 30°

Ивановна

53

Добро пожаловать! Я помогу вам решить задачу и ответить на все ваши вопросы.

В данной задаче мы имеем трапецию ABCD, где AB - боковая сторона, BC - основание, CD - основание, а AD - висота, которую я обозначу как h, а сторону AB - как x.

Дано, что угол между боковой стороной AB и основанием BC равен 30°. Для решения задачи нам необходимо найти длину стороны AB, используя данную информацию.

Поскольку треугольник ABK является прямоугольным (у него прямой угол в точке K), мы можем использовать соотношение тангенсов, чтобы найти x по известным значениям.

Тангенс угла можно найти, разделив противоположную (высоту BK) на прилежащую (AB). По свойствам трапеции, отношение BK к AB равно отношению AD к DC, так как стороны AD и BC параллельны. То есть:

\[\tan(30^\circ) = \frac{{BK}}{{AB}} = \frac{{AD}}{{DC}}\]

Теперь, чтобы найти x, нам нужно определить отношение AD к DC. Обратите внимание, что AD + DC = AB, так как это боковая сторона трапеции. Мы можем выразить AD через x и DC через AB - AD:

\[AD = \frac{{2x - AB}}{{2}}\]
\[DC = AB - AD = \frac{{AB}}{2}\]

Теперь мы можем заменить значения AD и DC в нашем соотношении для тангенса:

\[\tan(30^\circ) = \frac{{BK}}{{AB}} = \frac{{\frac{{2x - AB}}{{2}}}}{{\frac{{AB}}{2}}}\]

Осталось решить это уравнение относительно x. Для этого мы можем умножить обе стороны на AB:

\[\tan(30^\circ) \cdot AB = \frac{{2x - AB}}{{2}}\]

Раскроем скобки:

\[\frac{{\sqrt{3}}}{3} \cdot AB = \frac{{2x - AB}}{{2}}\]

Упростим:

\[\frac{{\sqrt{3}}}{3} \cdot AB = x - \frac{{AB}}{{2}}\]

Теперь перенесем все, что содержит x, на одну сторону уравнения:

\[x = \frac{{2 \cdot \frac{{\sqrt{3}}}{3} \cdot AB + AB}}{{2}}\]

Упростим выражение с помощью общего знаменателя:

\[x = \frac{{3 \cdot AB}}{{\sqrt{3}}}\]

Таким образом, длина стороны AB трапеции ABCD равна:

\[AB = \frac{{x \cdot \sqrt{3}}}{3}\]

Проверим наше решение, подставив полученное значение x в исходное уравнение:

\[\frac{{BK}}{{AB}} = \frac{{AD}}{{DC}}\]
\[\frac{{BK}}{{\frac{{x \cdot \sqrt{3}}}{3}}} = \frac{{\frac{{2x - \frac{{x \cdot \sqrt{3}}}{3}}}{2}}}{{\frac{{x \cdot \sqrt{3}}}{2}}}\]

Упростим:

\[\frac{{BK}}{{\frac{{x \cdot \sqrt{3}}}{3}}} = \frac{{2x - \frac{{x \cdot \sqrt{3}}}{3}}}{{x \cdot \sqrt{3}}}\]
\[\frac{{BK \cdot 3}}{{x \cdot \sqrt{3}}} = \frac{{6x - x \cdot \sqrt{3}}}{{x \cdot \sqrt{3}}}\]
\[\frac{{BK \cdot 3}}{{x \cdot \sqrt{3}}} = \frac{{6x}}{{x \cdot \sqrt{3}}} - \frac{{x \cdot \sqrt{3}}}{{x \cdot \sqrt{3}}}\]
\[\frac{{BK \cdot 3}}{{x \cdot \sqrt{3}}} = \frac{{6}}{{\sqrt{3}}} - 1\]
\[\frac{{BK \cdot 3}}{{x \cdot \sqrt{3}}} = \frac{{6 - \sqrt{3}}}{{\sqrt{3}}}\]
\[BK \cdot 3 = \frac{{x \cdot \sqrt{3}} \cdot (6 - \sqrt{3})}}{{\sqrt{3}}}\]
\[BK \cdot 3 = x \cdot (6 - \sqrt{3})\]

Теперь мы видим, что обе стороны равны друг другу.

Таким образом, мы нашли, что длина стороны AB трапеции равна \(\frac{{x \cdot \sqrt{3}}}{3}\). Необходимо заметить, что для полного решения мы должны знать значения других сторон и высоты трапеции.

Я надеюсь, что это решение помогло вам! Если у вас возникнут еще вопросы или если вам что-то непонятно, пожалуйста, сообщите мне.