Какое множество значений можно получить для выражения (x-y)(1+2xy), если x^2+y^2=2?

Skvoz_Podzemelya

50

Давайте пошагово решим эту задачу.

Шаг 1: Найдем значение $xy$.
Для этого воспользуемся данным уравнением:
$$x^2+y^2=2$$
Выразим $x^2$:
$$x^2=2-y^2$$
Умножим обе части уравнения на $y^2$:
$$x^2{y}^2=2y^2-y^4(1)$$

Шаг 2: Подставим $x^2{y}^2$ в заданное выражение.
Заменим $x^2{y}^2$ на $(2y^2-y^4)$ в выражении $(x-y)(1+2xy)$:
$(x-y)(1+2xy)=(x-y)(1+2(2y^2-y^4))(2)$

Шаг 3: Раскроем скобки в выражении $(x-y)(1+2(2y^2-y^4))$.
Умножим каждый член в первой скобке на каждый член во второй скобке:
$(x-y)(1+2(2y^2-y^4))=x(1+2(2y^2-y^4))-y(1+2(2y^2-y^4))(3)$

Шаг 4: Упростим выражение $(1+2(2y^2-y^4))$.
Умножим $2$ на каждый член во второй скобке:
$1+2(2y^2-y^4)=1+4y^2-2y^4$

Шаг 5: Подставим это значение в выражение $(x-y)(1+2(2y^2-y^4))$:
$x(1+4y^2-2y^4)-y(1+4y^2-2y^4)$

Шаг 6: Упростим оба выражения отдельно.
Первое выражение: $x(1+4y^2-2y^4)=x+4x{y}^2-2x{y}^4$
Второе выражение: $y(1+4y^2-2y^4)=y+4y^3-2y^5$

Шаг 7: Итак, исходное выражение $(x-y)(1+2xy)$ будет равно:
$x+4x{y}^2-2x{y}^4-y-4y^3+2y^5$

Таким образом, мы получили выражение для множества возможных значений исходного выражения $(x-y)(1+2xy)$, если $x^2+y^2=2$:
$$x+4x{y}^2-2x{y}^4-y-4y^3+2y^5$$