Какое множество значений можно получить для выражения (x-y)(1+2xy), если x^2+y^2=2?

Skvoz_Podzemelya

50

Давайте пошагово решим эту задачу.

Шаг 1: Найдем значение \(xy\).
Для этого воспользуемся данным уравнением:
\[x^2 + y^2 = 2\]
Выразим \(x^2\):
\[x^2 = 2 - y^2\]
Умножим обе части уравнения на \(y^2\):
\[x^2 y^2 = 2y^2 - y^4 \quad (1)\]

Шаг 2: Подставим \(x^2 y^2\) в заданное выражение.
Заменим \(x^2 y^2\) на \((2y^2 - y^4)\) в выражении \((x - y)(1 + 2xy)\):
\((x - y)(1 + 2xy) = (x - y)(1 + 2(2y^2 - y^4)) \quad (2)\)

Шаг 3: Раскроем скобки в выражении \((x - y)(1 + 2(2y^2 - y^4))\).
Умножим каждый член в первой скобке на каждый член во второй скобке:
\((x - y)(1 + 2(2y^2 - y^4)) = x(1 + 2(2y^2 - y^4)) - y(1 + 2(2y^2 - y^4)) \quad (3)\)

Шаг 4: Упростим выражение \((1 + 2(2y^2 - y^4))\).
Умножим \(2\) на каждый член во второй скобке:
\(1 + 2(2y^2 - y^4) = 1 + 4y^2 - 2y^4\)

Шаг 5: Подставим это значение в выражение \((x - y)(1 + 2(2y^2 - y^4))\):
\(x(1 + 4y^2 - 2y^4) - y(1 + 4y^2 - 2y^4)\)

Шаг 6: Упростим оба выражения отдельно.
Первое выражение: \(x(1 + 4y^2 - 2y^4) = x + 4xy^2 - 2xy^4\)
Второе выражение: \(y(1 + 4y^2 - 2y^4) = y + 4y^3 - 2y^5\)

Шаг 7: Итак, исходное выражение \((x - y)(1 + 2xy)\) будет равно:
\(x + 4xy^2 - 2xy^4 - y - 4y^3 + 2y^5\)

Таким образом, мы получили выражение для множества возможных значений исходного выражения \((x - y)(1 + 2xy)\), если \(x^2 + y^2 = 2\):
\[x + 4xy^2 - 2xy^4 - y - 4y^3 + 2y^5\]