Какое наибольшее из двух положительных чисел обеспечит наименьшую сумму квадратов одного из них и удвоенного квадрата

  • 6
Какое наибольшее из двух положительных чисел обеспечит наименьшую сумму квадратов одного из них и удвоенного квадрата другого, если их сумма равна 15?
Tropik
17
Давайте решим данную задачу пошагово.

Пусть первое положительное число обозначается как x, а второе положительное число обозначается как y.

1. Выпишем из условия задачи два уравнения:
x+y=k(1)x2+2y2=S(2)
где k - сумма чисел x и y, а S - сумма квадратов и удвоенного квадрата чисел x и y.

2. Для нахождения наибольшего числа, обеспечивающего наименьшую сумму квадратов, воспользуемся методом частных производных. Для этого найдем значения x и y, при которых производная функции S по переменным x и y равны нулю:
Sx=2x=0x=0Sy=4y=0y=0

3. Из полученных значений x=0 и y=0, мы видим, что оба числа должны быть равны нулю, что противоречит условию задачи про положительные числа. Поэтому такое решение нам не подходит.

4. Рассмотрим случай, когда x и y не равны нулю. Тогда мы можем представить одно из чисел в виде функции от другого числа по следующему соотношению:
x=ky

5. Подставим это выражение для x в уравнение (2) и решим его:
(ky)2+2y2=S
k22ky+y2+2y2=S
k22ky+3y2=S

6. Теперь полученное уравнение является квадратным относительно переменной y. Решим его, выразив y:
3y22ky+(k2S)=0

7. Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
D=(2k)243(k2S)=4k212k2+12S
D=8k2+12S

8. Найдем корни уравнения по формуле дискриминанта:
y=(2k)±8k2+12S23=2k±8k2+12S6

9. Поскольку x=ky, мы можем найти значение x для каждого значения y:
x=k2k±8k2+12S6=k±8k2+12S3

10. Теперь мы имеем два возможных значения для x и y. Для нахождения наибольшего числа, обеспечивающего наименьшую сумму квадратов, вычислим сумму квадратов для каждого из значений x и y и выберем максимальную из них.

Таким образом, наибольшее из двух положительных чисел, обеспечивающее наименьшую сумму квадратов одного из них и удвоенного квадрата другого, будет x или y в зависимости от максимального значения суммы квадратов, которую мы найдем, используя вычисления в пункте 10.