Какое наибольшее из двух положительных чисел обеспечит наименьшую сумму квадратов одного из них и удвоенного квадрата

Tropik

17

Давайте решим данную задачу пошагово.

Пусть первое положительное число обозначается как \( x \), а второе положительное число обозначается как \( y \).

1. Выпишем из условия задачи два уравнения:
\[
\begin{align*}
x + y & = k \quad \text{(1)} \\
x^2 + 2y^2 & = S \quad \text{(2)}
\end{align*}
\]
где \( k \) - сумма чисел \( x \) и \( y \), а \( S \) - сумма квадратов и удвоенного квадрата чисел \( x \) и \( y \).

2. Для нахождения наибольшего числа, обеспечивающего наименьшую сумму квадратов, воспользуемся методом частных производных. Для этого найдем значения \( x \) и \( y \), при которых производная функции \( S \) по переменным \( x \) и \( y \) равны нулю:
\[
\begin{align*}
\frac{{\partial S}}{{\partial x}} & = 2x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \\
\frac{{\partial S}}{{\partial y}} & = 4y = 0 \quad \Rightarrow \quad y = 0
\end{align*}
\]

3. Из полученных значений \( x = 0 \) и \( y = 0 \), мы видим, что оба числа должны быть равны нулю, что противоречит условию задачи про положительные числа. Поэтому такое решение нам не подходит.

4. Рассмотрим случай, когда \( x \) и \( y \) не равны нулю. Тогда мы можем представить одно из чисел в виде функции от другого числа по следующему соотношению:
\[
x = k - y
\]

5. Подставим это выражение для \( x \) в уравнение (2) и решим его:
\[
(k - y)^2 + 2y^2 = S
\]
\[
k^2 - 2ky + y^2 + 2y^2 = S
\]
\[
k^2 - 2ky + 3y^2 = S
\]

6. Теперь полученное уравнение является квадратным относительно переменной \( y \). Решим его, выразив \( y \):
\[
3y^2 - 2ky + (k^2 - S) = 0
\]

7. Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
\[
D = (-2k)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (k^2 - S) = 4k^2 - 12k^2 + 12S
\]
\[
D = -8k^2 + 12S
\]

8. Найдем корни уравнения по формуле дискриминанта:
\[
y = \frac{{-(-2k) \pm \sqrt{-8k^2 + 12S}}}{{2 \cdot 3}} = \frac{{2k \pm \sqrt{-8k^2 + 12S}}}{{6}}
\]

9. Поскольку \( x = k - y \), мы можем найти значение \( x \) для каждого значения \( y \):
\[
x = k - \frac{{2k \pm \sqrt{-8k^2 + 12S}}}{{6}} = \frac{{k \pm \sqrt{-8k^2 + 12S}}}{{3}}
\]

10. Теперь мы имеем два возможных значения для \( x \) и \( y \). Для нахождения наибольшего числа, обеспечивающего наименьшую сумму квадратов, вычислим сумму квадратов для каждого из значений \( x \) и \( y \) и выберем максимальную из них.

Таким образом, наибольшее из двух положительных чисел, обеспечивающее наименьшую сумму квадратов одного из них и удвоенного квадрата другого, будет \( x \) или \( y \) в зависимости от максимального значения суммы квадратов, которую мы найдем, используя вычисления в пункте 10.