Какое наибольшее значение имеет функция y=x/64+x2 при x≥0? Найди стационарные точки этой функции. Введите ответ в виде

Sverkayuschiy_Pegas

18

Для начала, чтобы найти наибольшее значение функции \(y = \frac{x}{64} + x^2\) при \(x \geq 0\), нам нужно найти ее стационарные точки. Стационарная точка - это точка, в которой производная функции равна нулю или не существует.

Давайте найдем производную данной функции, чтобы найти ее стационарные точки. Используем правило дифференцирования для суммы функций и правило дифференцирования для произведения:

\[y = \frac{x}{64} + x^2\]
\[y" = \frac{1}{64} + 2x\]

Теперь приравняем производную нулю и решим уравнение:

\[\frac{1}{64} + 2x = 0\]

Выразим \(x\):

\[2x = -\frac{1}{64}\]
\[x = -\frac{1}{128}\]

Таким образом, у нас есть одна стационарная точка при \(x = -\frac{1}{128}\).

Теперь, чтобы найти наибольшее значение функции, нужно проверить значения функции на границах заданного интервала. Поскольку указано, что \(x \geq 0\), мы должны проверить значение функции при \(x = 0\).

Подставим \(x = 0\) в функцию:

\[y = \frac{0}{64} + 0^2 = 0\]

Теперь сравним значение функции в стационарной точке \(x = -\frac{1}{128}\) и \(x = 0\). Значение функции в стационарной точке равно:

\[y = \frac{-\frac{1}{128}}{64} + \left(-\frac{1}{128}\right)^2\]
\[y = -\frac{1}{8192} + \frac{1}{16384} = \frac{1}{16384} - \frac{1}{8192} = -\frac{1}{16384}\]

Таким образом, наибольшее значение функции \(y = \frac{x}{64} + x^2\) при \(x \geq 0\) равняется \(-\frac{1}{16384}\) и достигается при \(x = -\frac{1}{128}\). Мы можем записать это в виде сокращенной дроби:

\[y = -\frac{1}{16384} = -\frac{1}{2^{14}}\]