Какое наибольшее значение может иметь длина отрезка BD в треугольнике АВС, где АВ= 8 см, ВС=11 см и проведена высота

Letuchiy_Fotograf

30

Чтобы найти наибольшую возможную длину отрезка BD в треугольнике АВС, нам нужно рассмотреть свойства прямоугольного треугольника BCD, где D - это точка пересечения высоты ВD и стороны AC.

Для начала, давайте вспомним несколько свойств прямоугольного треугольника. В прямоугольном треугольнике, основание высоты является гипотенузой, а другие две стороны являются катетами. Также, в прямоугольном треугольнике, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы по теореме Пифагора.

В нашем случае, ВD - это высота треугольника АВС, поэтому BC является гипотенузой треугольника BCD. Из условия задачи мы знаем, что АВ = 8 см и ВС = 11 см. Так как в треугольнике BCD высота ВD перпендикулярна стороне AC, то отрезок BD является основанием высоты.

Для того чтобы найти длину отрезка BD, мы можем применить теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику BCD:

\[BC^2 = BD^2 + CD^2\]

Мы знаем, что ВС = 11 см, поэтому CD = ВС - BD = 11 - BD. Подставляем это значение в теорему Пифагора:

\[8^2 = BD^2 + (11 - BD)^2\]

Упрощаем это уравнение:

\[64 = BD^2 + 121 - 22BD + BD^2\]

\[2BD^2 - 22BD + 57 = 0\]

Теперь мы можем решить это уравнение, используя квадратное уравнение или факторизацию. Найдем значения BD, используя квадратное уравнение:

\[BD = \frac{-(-22) \pm \sqrt{(-22)^2 - 4(2)(57)}}{2(2)}\]

\[BD = \frac{22 \pm \sqrt{484 - 456}}{4}\]

\[BD = \frac{22 \pm \sqrt{28}}{4}\]

Обратите внимание, что здесь появился подкоренный выражение 28. Важно отметить, что из двух корней этого уравнения, нам нужен только положительный корень, так как длина отрезка BD не может быть отрицательной.

Поскольку значение BD равно длине отрезка BD, то наибольшее значение, которое может иметь длина отрезка BD, можно найти, взяв положительный корень из выражения:
\[BD = \frac{22 + \sqrt{28}}{4}\]

Теперь давайте вычислим это выражение:

\[BD = \frac{22 + \sqrt{28}}{4} \approx 4.31\]

Таким образом, наибольшее значение, которое может иметь длина отрезка BD, при данных условиях, составляет примерно 4.31 см. Верный ответ выбран номером 3.