Какое наибольшее значение может иметь сумма обратных натуральных чисел, если эти числа подобраны таким образом

Baska

67

Чтобы найти максимальное значение суммы обратных натуральных чисел, существуют несколько подходов.

Первый подход состоит в том, чтобы посмотреть, как быстро уменьшается значение при каждом добавлении обратного числа. Начнем с добавления первого числа, которое будет равно 1. Затем добавим второе число, которое будет равно 1/2. Сумма будет равна 1 + 1/2. Затем добавим третье число, равное 1/3, и так далее, пока не достигнем суммы, меньшей определенного значения.

Второй подход заключается в использовании математической формулы для вычисления суммы обратных натуральных чисел. Формула имеет следующий вид:

\[ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = H_n \]

где \(H_n\) обозначает гармоническое число, равное сумме обратных к каждому натуральному числу до \(n\).

Теперь посмотрим на оба подхода и определим ответ.

При использовании первого подхода мы можем пошагово добавлять обратные числа и следить за изменением суммы. Когда сумма превысит данное значение, мы остановимся и получим максимальную сумму обратных натуральных чисел, которую мы смогли получить.

Однако, чтобы найти точное значение этой суммы, мы можем использовать второй подход. Воспользуемся формулой гармонического числа:

\[ H_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{n} \]

Для нахождения наибольшего значения суммы, мы должны найти такое число \(n\), при котором \(H_n\) приближается к данному значению, но не превышает его.

Например, если данное значение равно 10, мы можем начать с \(n = 2\) и вычислить сумму \(H_2 = 1 + \frac{1}{2}\). Затем мы увеличиваем \(n\) на 1 и вычисляем сумму \(H_3 = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}\). Продолжаем этот процесс до тех пор, пока сумма \(H_n\) не станет больше 10. В этом случае, максимальная сумма обратных натуральных чисел будет \(H_{n-1}\).

Таким образом, чтобы найти максимальную сумму, не превышающую данное значение, мы можем использовать как подход с последовательным добавлением чисел, так и математическую формулу гармонического числа.