Какова вероятность выбрать 2 мужчин и 3 женщин из группы, состоящей из 10 мужчин и 15 женщин? Ответ округлите до трех

Zhuzha

25

Чтобы решить эту задачу, мы должны использовать комбинаторику и формулу для нахождения вероятности выбора определенного количества объектов из заданного набора. В данном случае у нас есть группа, состоящая из 10 мужчин и 15 женщин, и нам нужно выбрать 2 мужчин и 3 женщин.

Количество способов выбрать 2 мужчин из 10 равно числу сочетаний из 10 по 2 и обозначается как \( C(10, 2) \). Формула для нахождения числа сочетаний из \( n \) элементов по \( k \) элементов выглядит следующим образом:

\[ C(n,k) = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}} \]

где символ "!" обозначает факториал числа. Факториал числа - это умножение всех целых чисел от 1 до этого числа.

Таким образом, мы можем вычислить число сочетаний для выбора 2 мужчин из 10 следующим образом:

\[ C(10, 2) = \frac{{10!}}{{2!(10-2)!}} = \frac{{10!}}{{2! \cdot 8!}} = \frac{{10 \cdot 9}}{{2 \cdot 1}} = 45 \]

Аналогично, количество способов выбрать 3 женщин из 15 равно числу сочетаний из 15 по 3, \( C(15, 3) \), и может быть вычислено по формуле, которую мы только что использовали:

\[ C(15, 3) = \frac{{15!}}{{3!(15-3)!}} = \frac{{15!}}{{3! \cdot 12!}} = \frac{{15 \cdot 14 \cdot 13}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}} = 455 \]

Чтобы найти общую вероятность выбора 2 мужчин и 3 женщин из группы, мы должны разделить количество сочетаний для выбора 2 мужчин и 3 женщин на общее количество возможных сочетаний из 25 человек (10 мужчин и 15 женщин). Общее количество сочетаний равно числу сочетаний из 25 по 5:

\[ C(25, 5) = \frac{{25!}}{{5!(25-5)!}} = \frac{{25!}}{{5! \cdot 20!}} = \frac{{25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21}}{{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = 53,130 \]

Таким образом, вероятность выбора 2 мужчин и 3 женщин из группы равна:

\[ \frac{{C(10, 2) \cdot C(15, 3)}}{{C(25, 5)}} = \frac{{45 \cdot 455}}{{53,130}} \approx 0.387 \]

Ответ округляется до трех знаков после запятой и составляет примерно 0.387.