Какое наименьшее целое положительное число n, при котором 1 + 11 + 111 + ⋯ + 1...1 (последнее слагаемое содержит

Kiska_8275

2

Данная задача является классическим примером ряда, который содержит последовательность чисел, состоящих из единиц. Давайте посмотрим на общую форму ряда такого вида:
\[1 + 11 + 111 + \ldots + \underbrace{1...1}_n\]

Если внимательно проанализировать числа в этой последовательности, можно заметить следующее:

1. \(1 = 1\)
2. \(11 = 1 \times 10 + 1 = 11\)
3. \(111 = 1 \times 100 + 1 \times 10 + 1 = 111\)

Это можно записать общим образом:
\[1 + 11 + 111 + \ldots + \underbrace{1...1}_n = 1 + 10 + 100 + \ldots + 10^{n-1}\]

Теперь давайте посчитаем сумму данного ряда:
\[S = 1 + 10 + 100 + \ldots + 10^{n-1} = \frac{10^n - 1}{9}\]

Данная формула происходит из суммы геометрической прогрессии: \(S = \frac{a_1(r^n - 1)}{r - 1}\), где \(a_1 = 1\), \(r = 10\), \(n\) - количество членов в последовательности.

Теперь нам нужно найти такое наименьшее целое положительное число \(n\), при котором \(S\) будет делиться на \(11\). То есть, мы должны найти такое \(n\), при котором \(\frac{10^n - 1}{9}\) делится на 11 без остатка.

Изучив числа, мы можем заметить, что при \(n = 6\), число \(S\) делится на 9 без остатка.
Поэтому наименьшее целое положительное число \(n\), при котором \(S\) делится на \(11\), равно \(n = 6\).