Как выразить 5Sin306°/Cos36° в более подробной форме?

Poyuschiy_Dolgonog

48

Для решения этой задачи нам понадобится использовать тригонометрические тождества. Давайте воспользуемся формулой двойного угла для синуса: \(\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta)\)

Используя эту формулу, мы можем преобразовать выражение 5\(\sin(306^\circ)\) к виду, содержащему синус и косинус угла в половину меньшего значения:

\[5\sin(306^\circ) = 2 \times 5\sin(153^\circ)\cos(153^\circ)\]

Теперь мы можем использовать формулу синуса разности углов: \(\sin(\alpha - \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) - \cos(\alpha)\sin(\beta)\)

Применим эту формулу к нашему выражению и заменим \(\alpha = 153^\circ\) и \(\beta = 36^\circ\):

\[2 \times 5\sin(153^\circ)\cos(153^\circ) = 2\sin(153^\circ)\cos(36^\circ) - 2\cos(153^\circ)\sin(36^\circ)\]

Теперь мы можем использовать известные нам значения синуса и косинуса для углов 153° и 36°.

\(\sin(153^\circ) = \sin(180^\circ - 153^\circ) = \sin(27^\circ)\)

\(\cos(153^\circ) = \cos(180^\circ - 153^\circ) = -\cos(27^\circ)\)

\(\sin(36^\circ) = \sin(2 \times 18^\circ) = 2\sin(18^\circ)\cos(18^\circ)\)

\(\cos(36^\circ) = \cos(2 \times 18^\circ) = 2\cos^2(18^\circ) - 1\)

Теперь мы можем заменить значения синуса и косинуса в нашем выражении:

\[2\sin(153^\circ)\cos(36^\circ) - 2\cos(153^\circ)\sin(36^\circ) = 2\sin(27^\circ) \cdot (2\cos^2(18^\circ) - 1) - 2(-\cos(27^\circ)) \cdot (2\sin(18^\circ)\cos(18^\circ))\]

Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые:

\[4\sin(27^\circ)\cos^2(18^\circ) - 2\sin(27^\circ) - 4\cos(27^\circ)\sin(18^\circ)\cos(18^\circ)\]

Теперь мы можем использовать формулу двойного угла для косинуса: \(\cos(2\theta) = \cos^2(\theta) - \sin^2(\theta)\)

Применим эту формулу к нашему выражению и заменим \(\theta = 18^\circ\):

\[4\sin(27^\circ)\cos^2(18^\circ) - 2\sin(27^\circ) - 4\cos(27^\circ)\sin(18^\circ)\cos(18^\circ) = 4\sin(27^\circ)(\cos^2(18^\circ) - \sin^2(18^\circ)) - 2\sin(27^\circ)\]

Теперь мы можем использовать формулу синуса двойного угла: \(\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta)\)

Применим эту формулу к нашему выражению и заменим \(\theta = 18^\circ\):

\[4\sin(27^\circ)(2\sin(18^\circ)\cos(18^\circ)) - 2\sin(27^\circ) = 8\sin^2(18^\circ)\sin(27^\circ) - 2\sin(27^\circ)\]

Сократим общий множитель и получим итоговый ответ:

\[8\sin^2(18^\circ)\sin(27^\circ) - 2\sin(27^\circ)\]

Таким образом, выражение \(5\sin(306^\circ)/\cos(36^\circ)\) в более подробной форме будет равно \(8\sin^2(18^\circ)\sin(27^\circ) - 2\sin(27^\circ)\)