Какое наименьшее количество пожарных, n, понадобится, чтобы они смогли остановить распространение пожара в городе

Ябедник

16

Для решения этой задачи мы можем провести следующие рассуждения.

Представим себе бесконечную клетчатую плоскость, на которой расположен город. Каждая клетка этой плоскости может быть или зданием или свободной территорией.

Пусть у нас есть n пожарных. Идея состоит в том, чтобы каждого пожарного поместить в центр своей клетки, а затем заставить каждого пожарного охранять свою клетку и заниматься тушением пожара вокруг нее.

Если город представляет собой одно единственное здание, и пожар затронул это здание, то одного пожарного будет достаточно, чтобы остановить распространение пожара.

Однако, если город состоит из нескольких зданий, то пожар может перекинуться с одного здания на другое. Чтобы предотвратить это, нужно разместить пожарных так, чтобы каждое здание находилось внутри квадрата размером (2n-1)х(2n-1), где n - количество пожарных.

Если каждое здание имеет свой квадрат размером (2n-1)х(2n-1) вокруг себя, то пожарные смогут остановить распространение огня. В этом случае вся городская территория будет покрыта квадратами, и ни один огонь не сможет перескочить на соседний квадрат.

Таким образом, наименьшее количество пожарных, необходимых для предотвращения распространения пожара в городе, состоящем из нескольких зданий, можно выразить формулой:

\[n = \left\lceil \frac{{\sqrt{N} - 1}}{2} \right\rceil\]

где N - общее количество зданий.

Например, если в городе есть 9 зданий, то необходимо:

\[n = \left\lceil \frac{{\sqrt{9} - 1}}{2} \right\rceil = \left\lceil \frac{2 - 1}{2} \right\rceil = \left\lceil \frac{1}{2} \right\rceil = 1\]

Таким образом, для остановки распространения пожара в городе с 9 зданиями будет достаточно одного пожарного.