Какое наименьшее натуральное число делится на 3 с остатком 1, на 4 с остатком 2, на 5 с остатком 3, на 6 с остатком

  • 34
Какое наименьшее натуральное число делится на 3 с остатком 1, на 4 с остатком 2, на 5 с остатком 3, на 6 с остатком 4 и на 7 делится нацело?
Igor
48
Давайте разберемся в этой задаче пошагово.

Для начала давайте представим, что ищем такое число x, которое при делении на 3 даёт остаток 1. Мы можем записать это как x1(mod3), где знак "≡" означает "конгруэнтно". Это означает, что остаток от деления числа x на 3 равен 1.

Точно так же, мы можем записать условия для остатков от деления на 4, 5, 6 и 7. Получаем следующие условия:
x1(mod3)x2(mod4)x3(mod5)x4(mod6)x0(mod7)

Теперь мы можем воспользоваться китайской теоремой об остатках, чтобы найти одно конкретное число, которое удовлетворяет всем этим условиям.

Сначала давайте решим пару первых условий. У нас есть:
x1(mod3)x2(mod4)

Остаток от деления на 3 может быть 1, 4, 7, 10, и так далее. Мы ищем число x, удовлетворяющее этим условиям и дающее остаток 2 при делении на 4. Найдем такое число.

Если мы начнем с 1 и будем прибавлять 3 (потому что остаток от деления на 3 равен 3) к числу, то мы найдем число, которое равно 4. Однако оно не удовлетворяет условию для деления на 4.

Продолжим прибавлять 3 и находим 7 — это тоже не удовлетворяет условию для деления на 4.

Продолжаем таким образом и находим, что число 10 удовлетворяет обоим условиям. Значит, x10(mod12). Мы можем использовать это значение x и продолжить с другими условиями.

Следующее условие:
x3(mod5)

Мы уже знаем, что x10(mod12), а это значит, что x может быть записано в следующей форме: x=12k+10, где k — целое число.

Теперь мы можем подставить x в последнее условие:
12k+104(mod6)

В этой форме у нас теперь есть только одна переменная k. Решим это условие.

Уравнение означает, что остаток от деления 12k+10 на 6 равен 4. Найдем k, удовлетворяющее этому условию.

Если мы начнем с k=1, то 12k+10 будет равно 22, что не дает остаток 4 при делении на 6.

Продолжим таким образом и находим, что k=2 удовлетворяет условию. Это значит, что для x мы можем записать x=122+10=34. Теперь у нас остается только последнее условие.

Последнее условие:
x0(mod7)

Подставим x и решим:
340(mod7)

Уравнение означает, что остаток от деления 34 на 7 равен 0. Итак, число 34 удовлетворяет всем условиям задачи.

Поэтому, наименьшое натуральное число, которое удовлетворяет условиям задачи, равно 34.

Надеюсь, это пошаговое объяснение помогло вам понять данный материал. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их. Я всегда готов помочь!