Какое наименьшее натуральное число делится на 3 с остатком 1, на 4 с остатком 2, на 5 с остатком 3, на 6 с остатком

Igor

48

Давайте разберемся в этой задаче пошагово.

Для начала давайте представим, что ищем такое число \( x \), которое при делении на 3 даёт остаток 1. Мы можем записать это как \( x \equiv 1 \pmod{3} \), где знак "≡" означает "конгруэнтно". Это означает, что остаток от деления числа \( x \) на 3 равен 1.

Точно так же, мы можем записать условия для остатков от деления на 4, 5, 6 и 7. Получаем следующие условия:
\[
\begin{align*}
x &\equiv 1 \pmod{3} \\
x &\equiv 2 \pmod{4} \\
x &\equiv 3 \pmod{5} \\
x &\equiv 4 \pmod{6} \\
x &\equiv 0 \pmod{7}
\end{align*}
\]

Теперь мы можем воспользоваться китайской теоремой об остатках, чтобы найти одно конкретное число, которое удовлетворяет всем этим условиям.

Сначала давайте решим пару первых условий. У нас есть:
\[
\begin{align*}
x &\equiv 1 \pmod{3} \\
x &\equiv 2 \pmod{4}
\end{align*}
\]

Остаток от деления на 3 может быть 1, 4, 7, 10, и так далее. Мы ищем число \( x \), удовлетворяющее этим условиям и дающее остаток 2 при делении на 4. Найдем такое число.

Если мы начнем с 1 и будем прибавлять 3 (потому что остаток от деления на 3 равен 3) к числу, то мы найдем число, которое равно 4. Однако оно не удовлетворяет условию для деления на 4.

Продолжим прибавлять 3 и находим 7 — это тоже не удовлетворяет условию для деления на 4.

Продолжаем таким образом и находим, что число 10 удовлетворяет обоим условиям. Значит, \( x \equiv 10 \pmod{12} \). Мы можем использовать это значение \( x \) и продолжить с другими условиями.

Следующее условие:
\[
x \equiv 3 \pmod {5}
\]

Мы уже знаем, что \( x \equiv 10 \pmod{12} \), а это значит, что \( x \) может быть записано в следующей форме: \( x = 12k + 10 \), где \( k \) — целое число.

Теперь мы можем подставить \( x \) в последнее условие:
\[
12k + 10 \equiv 4 \pmod{6}
\]

В этой форме у нас теперь есть только одна переменная \( k \). Решим это условие.

Уравнение означает, что остаток от деления \( 12k + 10 \) на 6 равен 4. Найдем \( k \), удовлетворяющее этому условию.

Если мы начнем с \( k = 1 \), то \( 12k + 10 \) будет равно 22, что не дает остаток 4 при делении на 6.

Продолжим таким образом и находим, что \( k = 2 \) удовлетворяет условию. Это значит, что для \( x \) мы можем записать \( x = 12 \cdot 2 + 10 = 34 \). Теперь у нас остается только последнее условие.

Последнее условие:
\[
x \equiv 0 \pmod {7}
\]

Подставим \( x \) и решим:
\[
34 \equiv 0 \pmod {7}
\]

Уравнение означает, что остаток от деления 34 на 7 равен 0. Итак, число 34 удовлетворяет всем условиям задачи.

Поэтому, наименьшое натуральное число, которое удовлетворяет условиям задачи, равно 34.

Надеюсь, это пошаговое объяснение помогло вам понять данный материал. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их. Я всегда готов помочь!