Какое наименьшее расстояние d между автомобилями достигается, когда они движутся по шоссейным дорогам, пересекающимся

Винни

28

Задача заключается в нахождении наименьшего расстояния между двумя автомобилями, движущимися по шоссейным дорогам, пересекающимся под прямым углом. Из условия задачи имеем, что скорость первого автомобиля \(v_1\) больше скорости второго автомобиля \(v_2\). Допустим, что в некоторый момент времени расстояние от обоих автомобилей до перекрестка одинаково и равно \(d\). Для решения задачи воспользуемся физическими законами и геометрией.

Давайте представим это на координатной плоскости, где \(x\) и \(y\) представляют расстояния, которые проехали первый и второй автомобили соответственно. Пусть начальные координаты первого автомобиля будут \((0, 0)\), а начальные координаты второго автомобиля будут \((d, 0)\). Учитывая, что оба автомобиля движутся постоянной скоростью, можно представить их движение равноускоренным прямолинейным движением.

Уравнение движения первого автомобиля: \(x_1 = v_1t\)

Уравнение движения второго автомобиля: \(x_2 = d - v_2t\)

Где \(t\) - время, прошедшее с начала движения автомобилей.

Находим время, когда расстояние между автомобилями минимально. Для этого приравниваем \(x_1\) и \(x_2\):

\(v_1t = d - v_2t\)

Решаем это уравнение относительно \(t\):

\(v_1t + v_2t = d\)

\((v_1 + v_2)t = d\)

\(t = \frac{d}{v_1 + v_2}\)

Теперь, используя найденное значение \(t\), найдем расстояние между автомобилями на момент времени \(t\):

Подставим \(t\) в уравнение движения первого автомобиля:

\(x_1 = v_1 \cdot \frac{d}{v_1 + v_2} = \frac{v_1d}{v_1 + v_2}\)

Подставим \(t\) в уравнение движения второго автомобиля:

\(x_2 = d - v_2 \cdot \frac{d}{v_1 + v_2} = \frac{v_2d}{v_1 + v_2}\)

Таким образом, наименьшее расстояние между автомобилями достигается тогда, когда первый автомобиль проехал \(\frac{v_1d}{v_1 + v_2}\) расстояния, а второй - \(\frac{v_2d}{v_1 + v_2}\) расстояния от перекрестка.